Свойства предела функции 7 теорем

Бесконечный предел.

Односторонние пределы.

Число A' называется пределом слева функции f(x) в точке a:

если

|A' - f(x)| < ε при 0 < a - x < δ (ε).

Аналогично, число A" называется пределом справа функции f(x) в точке a:

если

|A" - f(x) |< ε при 0 < x - a < δ (ε).

Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы

f (a - 0) = f(a + 0).

Условная запись

обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство:

|f(x)| > E, если только 0 < |x - a| < δ (E).

Ответ:

бозначение предела Предел функции обозначается как или через символ предела: . Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют. Предел суммы Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: Расширенное правило суммы Предел постоянной величины Предел постоянной величины равен самой постоянной величине: Предел произведения функции на постоянную величину Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела: Предел произведения Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют): Расширенное правило произведения Предел частного Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю: Предел степенной функции где степень p - действительное число. В частности, Если f (x) = x, то Предел показательной функции где основание a > 0. Предел логарифмической функции где основание a > 0. Теорема "о двух милиционерах" Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если то То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.

Пример 1

Найти предел . Решение.

Пример 2

Найти предел . Решение. Используя основные свойства пределов (правило суммы, правило частного и предел степенной функции), получаем

Пример 3

Зная, что и , вычислить предел . Решение.

Пример 4

Вычислить предел . Решение. Известно, что для всех x. Тогда можно записать Разделив это неравенство на 2 x − 7 > 0, получаем (Поскольку мы рассматриваем большие и положительные значения x, и, следовательно, 2 x − 7 > 0, то знаки неравенства при делении не изменяются.) Выполняя предельный переход, получаем Вычислим левый и правый пределы: Отсюда, по теореме о "двух милиционерах" следует, что

Пример 5

Вычислить предел . Решение. Известно, что для всех x. Тогда Вычтем 5 x из всех частей неравенства. Разделив на , получаем (Знаки неравенства при этом не меняются, поскольку является положительным числом при .) Вычислим левый и правый пределы. Как видно, оба предела равны друг другу. Следовательно, по теореме "o двух милиционерах"

Дата добавления: 2014-10-31