Свойства функций непрерывных в точке. Арифметические свойства непрерывных функций

Непрерывность функции, геометрический смысл, критерий непрерывности.

Ответ:Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.Свойства[править | править вики-текст]

Локальные [править | править вики-текст]

• Функция, непрерывная в точке a, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция f непрерывна в точке a и f (a)>0 (или f (a)<0), то f (x)>0 (или f (x)<0) для всех x, достаточно близких к a.
• Если функции f и g непрерывны в точке a, то функции f + g и f ⋅ g тоже непрерывны в точке a.
• Если функции f и g непрерывны в точке a и при этом g (a)≠0, то функция f / g тоже непрерывна в точке a.
• Если функция f непрерывна в точке a и функция g непрерывна в точке b = f (a), то их композиция h = g ∘ f непрерывна в точке a.

Глобальные [править | править вики-текст]

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции f, непрерывной на отрезке [ a, b ], является отрезок [min f, max f ], где минимум и максимум берутся по отрезку [ a, b ].
• Если функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] и f (a)⋅ f (b)<0, то существует точка ξ ∈(a, b), в которой f (ξ)=0.
• Если функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] и число φ удовлетворяет неравенству f (a)< φ < f (b) или неравенству f (a)> φ > f (b), то существует точка ξ ∈(a, b), в которой f (ξ)= φ.
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке [ a, b ] непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами f (a) и f (b).
• Если функции f и g непрерывны на отрезке [ a, b ], причем f (a)< g (a) и f (b)> g (b), то существует точка ξ ∈(a, b), в которой f (ξ)= g (ξ). Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Ответ: Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку точки непрерывности функции задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1 Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , непрерывны в точке . Если , то функция также непрерывна в точке .

Доказательство. Оно сразу же следует из теорем о пределах 2.8, 2.9, 2.10 и следствия 2.5.

Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее

Предложение 3.3 Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точки и непрерывных в этой точке. Тогда это множество является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:

Доказательство. Действительно, постоянные и -- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке пpоизведения и . Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке и сумма .

Теорема 3.2 Пусть функции и таковы, что существует композиция , . Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке . Тогда композиция непрерывна в точке .

Доказательство. Заметим, что равенство означает, что при будет . Значит,

(последнее равенство следует из непрерывности функции в точке ). Значит,

а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базы или и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

Теорема 3.3 Пусть функции и непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке .

Теорема 3.4 Пусть функция непрерывна слева (справа) в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция непрерывна слева (соотв. справа) в точке .

28.преход к пределу под знаком непрерывной функции. Непрерывность сложной и обратной функции.. непрерывность элементарных функций.

Ответ: Если lim f(x)=A, а функция g непрерывна в точке А, то lim g(f(x))=g(lim f(x)). Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.

а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х0 в виде

б) Так как х₀=lim x, то непрерывность в точке х₀ можно записать в виде

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим Dx=x-x₀ (приращение аргумента) и Df=f(x)-f(x₀) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х₀ означает, что , т.е. бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Введем обозначения:

если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ слева (справа) если f(x₀)=f(x₀ – 0) (f(x₀)=f(x₀+0)). Очевидно,что непрерывность в точке х₀ означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. если

Обратите внимание, где стоит квантор, это важно.

Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х₀, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв.

Дата добавления: 2014-10-31