Замечательный предел для логарифмической, показательной и степенной функции. Следствия

Число e. Натуральные логарифмы. Второй замечательный предел. Следствие.

Следствия

Первый замечательный предел. Следствие.

Ответ: Первый замечательный предел[править | править вики-текст]

lim x →0sin x/x =1

· lim x →0tg xx =1

· lim x →0arcsin xx =1

· lim x →0arctg xx =1

· lim x →01−cos xx 22=1

Доказательство следствий [скрыть]

lim x →0tg xx =lim x →0sin xx cos x =lim x →0sin xx ⋅lim x →01cos x =1⋅1=1

lim x →0arcsin xx =⎡⎣⎢⎢ u =arcsin xx =sin uu →0 x →0⎤⎦⎥⎥=lim u →0 u sin u =1

lim x →0arctg xx =⎡⎣⎢⎢ u =arctg xx =tg uu →0 x →0⎤⎦⎥⎥=lim u →0 u tg u =1

lim x →01−cos xx 22=lim x →02⋅sin2 x 2 x 22=12=1

Ответ: e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентноечисло. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), log _e (x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается.^[1]

Натуральный логарифм числа x — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln(7,389...) равен 2, потому что e ²= 7,389.... Натуральный логарифм самого числа e равен 1, потому что e ¹= e, а натуральный логарифм единицы равен 0, поскольку e ⁰ = 1.

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/ x от 1 до a. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный». Это определение можно расширить на комплексные числа, о чём будет сказано ниже.

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:

e ln(a)= a (a >0)

ln(ea)= a

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

ln(xy)=ln(x)+ln(y)

Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в видефункции:

ln:R+→R.

· Второй замечательный предел:

lim x →∞(1+1/ x)^ x = e.

1. lim u →0(1+ u)1 u = e

2. lim x →∞(1+ kx) x = ek

3. lim x →0ln(1+ x) x =1

4. lim x →0 ex −1 x =1

5. lim x →0 ax −1 x ln a =1 для a >0, a ≠1

6. lim x →0(1+ x) α −1 αx =1

Доказательства следствий [скрыть]

1. lim u →0(1+ u)1 u =[ u =1/ xx →∞]=lim x →∞(1+1 x) x = e

2. lim x →∞(1+ kx) x =⎡⎣⎢⎢⎢ u = x / kx = kuu →∞ x →∞⎤⎦⎥⎥⎥=lim u →∞(1+1 u) ku =(lim u →∞(1+1 u) u) k = ek

3. lim x →0ln(1+ x) x =lim x →01 x ln(1+ x)=lim x →0ln((1+ x)1 x)=ln e =1

4. lim x →0 ex −1 x =⎡⎣⎢⎢⎢ u = ex −1 x =ln(1+ u) x →0 u →0⎤⎦⎥⎥⎥=lim u →0 u ln(1+ u)=1

5. lim x →0 ax −1 x ln a =lim x →0 e ln(ax)−1 x ln a =lim x →0 ex ln a −1 x ln a =⎡⎣ u = x ln au →0 x →0⎤⎦=lim u →0 eu −1 u =1

6. lim x →0(1+ x) α −1 αx =lim x →0 eα ln(1+ x)−1 αx =lim x →0 eα ln(1+ x)−1 α ln(1+ x)⋅lim x →0ln(1+ x) x =

=lim x →0 eα ln(1+ x)−1 α ln(1+ x)⋅1=⎡⎣ u = α ln(1+ x) x →0 u →0⎤⎦=lim u →0 eu −1 u =1

Ответ: Замечательный тригонометрический предел Править

(без доказательства)

Дата добавления: 2014-10-31