Эквивалентные бесконечно-малые, критерий эквивалентности

Ответ: Эквивалентные функции

Определение:
Если в которой определены и ,
причём и - эквивалентные при и пишут

Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые илибесконечно большие при

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые и были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было
Положив , будем иметь
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если , то , то есть есть бесконечно малая высшего порядка, чем и . Обратно, если дано, что, то , а тогда .
С помощью этого критерия, например, видно, что при бесконечно малая эквивалентна , а .
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых . Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Если, а , при , то если , то и
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1)

2)

24.теорема о замени бесконечно малых на эквивалентные. Виды неопределенностей.

Ответ: При вычислении пределов широко используется теорема o замене функций на эквивалентные:

Теорема 2. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую функцию (или только одну из них) заменить на эквивалентную, т.е. если α (x) ~ α ₁(x) и β (x) ~ β ₁(x), то

lim x → x 0 α β = lim x → x 0 α 1 β 1 .

Замечание. Утверждение теоремы справедливо и в тех случаях, когда оба предела бесконечны или не существуют.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 77.

При вычислении пределов с помощью замены бесконечно малых функций на эквивалентные используется

Дата добавления: 2014-10-31