Р о з д і л 13

В задачах 1-60 применить понятие производной функции.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию, и используя результаты исследования, построить ее график.

Найти производную.

Найти производную.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12.

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

9. Найти производную .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. .

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

1. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V, цилиндрической формы. Какова должна быть высота цилиндра и радиус основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?

2. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

3. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

4. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

5. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

6. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

7. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

8. В точках А и Б находятся источники, сила света которых соответственно равна F и F. Расстояние между точками a. На отрезке АБ найти наименее освященную точку М.

Замечание. Освещенность точки источником света силой F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света:

9. Из круглого бревна, диаметр которого d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?

Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины x ее поперечного сечения на квадрат его высоты у:

10. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна p руб., а стенок - p руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

Указание. Рекомендуется принять за аргумент отношение радиуса r дна бака к его высоте .

11-30. Составить уравнение нормали (в вариантах 11-22) или уравнение касательной (в вариантах 23-30) к данной кривой в точке с абсциссой х.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26

27.

28.

29.

30.

Дата добавления: 2014-10-31