Нечіткі множини

Нехай - універсальна множина, - елемент , а - деяка властивість. Звичайна (чітка) підмножина універсальної множини , елементи якої задовольняють властивість , визначається як множина впорядкованих пар

,

де - характеристична функція, яка набуває значення 1, якщо задовольняє властивість , і 0 – в іншому випадку.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайної тим, що для елементів із нема однозначної відповіді “так/ні” стосовно властивості . У зв’язку з цим нечітка підмножина універсальної множини визначається як множина впорядкованих пар з характеристичною функцією приналежності (або просто функцією приналежності), яка набуває значення у деякій цілком впорядкованій множині (наприклад, ).

Функція приналежності (Membership function) вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента підмножині . Множину називають множиною приналежностей. Якщо , то нечітка підмножина може розглядатися як звичайна або чітка множина.

Завдяки теорії нечітких множин, чіткі вислови 0 або 1 (так/ні, істина/фальш) розширюються у логіку з проміжними значеннями. Тим самим виникає можливість представити лінгвістичні змінні, як досить фальшивий або майже істинний - отже лише половина істини - одним числовим значенням.

Суб’єктивна невизначеність понять, як наприклад, “надто висока температура“ або “надто низький тиск“, а також можливість прийняття рішень на основі таких лінгвістичних змінних відкривається через Fuzzy Logic. Необхідно лише ці висловлювання опрацювати у формі лінгвістичних (мовних) правил, тобто чіткі вхідні величини, наприклад, фізичної природи, так звані скаляри, перетворити у нечіткі множини за допомогою функцій приналежності. Цей процес визначається як фаззифікація (введення нечіткості- fuzzification).

Як приклад, на рис. 13.1 показано ступінь приналежності температури 70C.

Рис. 13.1. Функція приналежності множин “тепло“, “гаряче“

і “дуже гаряче“.

для множини “ тепло “;

для множини “ гаряче “;

для множини “ дуже гаряче “.

Наведені функції приналежості мають форму трапецій для множин “тепло“ та “дуже гаряче“ і трикутну форму для множини “гаряче“. Вони були утворені з первісної кривої розподілу Гауса. Крім вказаних, у нечіткій логіці для завдання функцій приналежності можуть використовуватися: подвійна гаусівська, узагальнена дзвоноподібна, сигмодальна, S - і Z – подібні та інші функції [ ]. Однак у практиці переважно застосовуються трапеції і трикутники.

Для визначення функцій приналежності застосовуються найчастіше прямі методи, тобто, коли експерт (група експертів) просто задає значення для кожного . Прямі методи завдання функцій приналежності застосовуються, як правило, до понять, що можуть бути виміряні, таких, як швидкість, час, відстань, тиск, температура, тощо.

Можна покращити роздільну здатність (чіткість визначення температур) показану на рис. 13.1 трьома частковими множинами, якщо визначити додаткові множини. Часткові множини в англійській термінології називаються Fuzzysets. У сучасних промислових FL-регуляторах може бути задано до дев’яти часткових множин. При цьому повинна виконуватися виконуватися умова: сума ступенів приналежності двох сусідніх лінгвістичних термів завжди повинна дорівнювати одиниці. Перша і остання функції приналежності, як правило, мають форму трапецій, а ті, що знаходяться між ними, найчастіше трикутні.

Отже кожна вхідна величина піддається фаззифікації. При цьому функції приналежності, визначені на вхідних змінних, застосовуються до їх фактичних значень для визначення ступеня істинності кожної передумови кожного правила. Услід за цим вони опрацьовуються за наперед сформульованими лінгвістичними правилами. Однак, на виході Fuzzy-модуля (рис. 13.2) повинні бути знову чіткі – скалярні - величини. З цієї причини, необхідною є дефаззифікація (defuzzification).

Рис. 13.2. Принцип побудови Fuzzy-модуля.

Дата добавления: 2014-10-31