Применение в экономике. Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е

Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.

Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид

(2.4)

где Q₀ — первоначальная сумма вклада в банк, р — процент начисления за определенный период времени (месяц, год), п — количество периодов времени хранения вклада, Q — сумма вклада по истечении п периодов времени. Формулы типа (2.4) используются также в демографических расчетах (прирост на­родонаселения) и в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта). Пусть первоначальный депозит Q₀ помещен в банк под р = 100% годовых, тогда через год сумма депозита составит 2 Q₀. Предположим, что через полгода счет закроется с результатом и эта сумма будет вновь помещена в качестве депозита в том же банке. В конце года депозит будет составлять . Будем уменьшать срок размещения депозита в бан­ке при условии его последующего размещения после изъятия. При ежеквартальном повторении этих операций депозит в конце года составит . Если повторять операцию изъятие-размещение в течение года сколько угодно раз, то при ежемесячном манипулировании сумма за год составит ; при ежедневном посещении банка ; при ежечасном — и т.д. Нетрудно видеть, что последовательность значений возрастания первоначально­го вклада { q_n } = { Q_n/Q₀ } как раз совпадает с последователь­ностью, пределом которой является число ε при п соглас­но (2.4). Таким образом, доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более чем

В общем случае, если р — процент начисления и год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины

где r = р /100. Это выражение можно преобразовать:

Мы можем ввести новую переменную и при n получим m ,или

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычисле­ниями по непрерывным процентам.

Пример 2. Пусть темп инфляции составляет 1% в день.Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Применение формулы сложных процентов дает

где Q₀ — первоначальная сумма, 182 — число дней в полуго­дии. Преобразуя это выражение, получаем

т.е. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

Дата добавления: 2014-10-15