Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания

Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами.

Пример 1. В ОТК цеха работают три контролера. Если де­таль поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслу­живанием ранее поступивших деталей, то она проходит не­проверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК и течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, что деталь пройдет ОТК не обслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы Р* _обс ≥ 0,95 (* — заданное значение Р_обс).

Решение. По условию задачи λ = 24дет./ч = 0,4дет./мин, _обс = 5 мин, тогда μ = 0,2, ρ = λ / μ = 2.

1. Вероятность простоя каналов обслуживания:

2. Вероятность отказа в обслуживании:

3. Вероятность обслуживания:

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:

6. Абсолютная пропускная способность:

При п = 3 Р _обс = 0,79 ≤ Р *_обс = 0,95. Произведя аналогич­ные расчеты для п = 4, получим

Так как Р _обс = 0,907 ≤ Р *_обс = 0,95, то, произведя расчеты для п = 5, получим

Ответ. Вероятность того, что при п = 3 деталь прой­дет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.

Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.

Рассмотрим задачу с использованием СМО с неограничен­ным ожиданием.

Пример 2. Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров (п = 3) для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков посту­пает в сберкассу с интенсивностью λ = 30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром од­ного вкладчика _обс = 3 мин.

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

Решение. Интенсивность потока обслуживания μ = 1/_обс = 1/3 = 0,333, интенсивность нагрузки ρ = 1,5.

1. Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня:

2. Вероятность застать всех контролеров-кассиров заняты­ми:

3. Вероятность очереди:

4. Среднее число заявок в очереди:

5. Среднее время ожидания заявки в очереди:

6. Среднее время пребывания заявки в СМО:

7. Среднее число свободных каналов:

8. Коэффициент занятости каналов обслуживания:

9. Среднее число посетителей в сберкассе:

Ответ. Вероятность простоя контролеров-кассиров рав­на 21% рабочего времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслужива­ния 0,472 мин.

Рассмотрим задачу с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.

Пример 3. Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с ин­тенсивностью λ = 6 машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют об­рабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомаши­нами (m = 2). В магазине работают три фасовщика (n = 3), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с од­ной машины в течение _обс = 4 ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.

Определить, какова должна быть емкость подсобных по­мещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была Р *_обc ≥ 0,97.

Решение. Определим интенсивность загрузки фасовщи­ков:

1. Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсут­ствии машин (заявок):

причем 0! = 1,0.

2. Вероятность отказа в обслуживании:

3. Вероятность обслуживания:

Так как Р _обс = 0,925 < Р* _обс = 0,97, произведем аналогич­ные вычисления для т = 3, получим

Так как Р _обс = 0,952 < Р*_обс = 0,97, примем т = 4.

Для этого случая

0,972 > 0,97, емкость подсобных помещений необходимо увели­чить до т = 4.

Для достижения заданной вероятности обслуживания мож­но увеличивать число фасовщиков, проводя последовательно вычисления СМО для п = 4, 5 и т.д. Задачу можно решить, увеличивая емкость подсобных помещений, число фасовщиков, уменьшая время обработки товаров.

Найдем остальные параметры СМО для рассчитанного слу­чая при P ₀ = 0,12, Р _отк = 0,028, Р _обc = 0,972.

4. Абсолютная пропускная способность:

5. Среднее число занятых обслуживанием каналов (фасов­щиков):

6. Среднее число заявок в очереди:

7. Среднее время ожидания обслуживания:

8. Среднее число машин в магазине:

9. Среднее время пребывания машины в магазине:

Ответ. Емкость подсобных помещений магазина должна вмещать товар, привезенный 4 автомашинами (m = 4), при этом вероятность полной обработки товара будет Р _обc = 0,972.

Дата добавления: 2014-10-15