Цепь с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивления

В лекциях 4, 5 и 6 рассматривались идеальные цепи переменного тока с одним активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями. На самом же деле всякая цепь переменного тока имеет все виды сопротивлений. Однако в практических расчетах обычно пренебрегают сопротивлениями с относительно небольшими значениями.

Представим себе неразветвленную цепь переменного тока с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями, распределенными равномерно по всей цепи (рис. 15).

В виду того, что ток в любом сечении цепи один и тот же и определяются суммарным действием всех имеющихся сопротивлений, цепь с равномерным распределением R, x_L и х_с условно можно заменить тремя последовательно соединенными сопротивлениями (рис. 16).

В подобной эквивалентной цепи расчетная величина тока будет такой же, как и в цепи рисунка 15.

Для мгновенных значений напряжения и э.д.с. в цепи (рис. 16) можно написать уравнение второго закона Кирхгофа

, (46)

где и – приложенное к цепи напряжение;

e_L – э.д.с. самоиндукции;

е_с – э.д.с. емкости.

Отсюда

. (47)

Здесь - мгновенное напряжение, приложенное к активному сопротивлению R;

- мгновенное напряжение, приложенное к индуктивному сопротивлению ;

- мгновенное напряжение, приложенное к емкостному сопротивлению .

При синусоидальном токе и_А будет совпадать по фазе с током, и_L – опережать ток на угол и и_с – отставать от тока на угол .

Поэтому можно написать

. (48)

При сложении синусоидальных величин одинаковой частоты получается синусоидальная величина той же частоты с амплитудой, равной геометрической сумме амплитуд слагаемых синусоид. Поэтому алгебраическое сложение синусоид можно заменить геометрическим сложением векторов, представляющих синусоидальные величины:

. (49)

Вместо амплитуд можно взять действующие значения.

Тогда получим

(50)

На рисунке 17 показаны векторная (а) и волновые (б) диаграммы напряжений и тока.

Вектор тока I принят за исходный. По отношению к нему откладываются все остальные векторы: вектор U_A, совпадающий с вектором тока; вектор U_L, опережающий вектор тока на угол ; вектор U_C, отстающий от вектора тока на угол . Диаграмма построена в предложении, что х_L > x_C, т.е. U_L > U_C (в сетях переменного тока индуктивные нагрузки преобладают над емкостными).

В результате геометрического сложения векторов U_A, U_L и U_C получим вектор U приложенного к цепи напряжения. Вектор U_A представляет активную, вектор U_L – индуктивную, вектор U_C – емкостную и вектор U_x – реактивную составляющую напряжения U.

а – векторная; б – волновые.

Рисунок 17 – диаграммы цепи с последовательным соединением сопротивлений

Как видно из рисунка 17, вектор тока I отстает по фазе от приложенного напряжения U на угол φ.

Треугольник ОАВ называется треугольником напряжений. Сумма напряжений на индуктивном и емкостном сопротивлениях называется реактивным напряжением U_x.

Из треугольника ОАВ следует:

.

Из выражений (17), (29) и (39) вытекает:

; ; .

Следовательно,

,

откуда

. (51)

Выражение (51) представляет закон Ома для цепей с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивлений.

Величина называется полным или кажущимся сопротивлением цепи и измеряется в Омах.

Величина носит название реактивного сопротивления цепи.

При х_L > x_C, напряжение U_L > U_C и угол φ будет положительным (вектор напряжения U откладывается вверх от исходного вектора тока I по направлению вращения векторов). В этом случае ток I отстает по фазе на угол φ от напряжения U.

Рисунок 18 – Треугольник сопротивлений Рисунок 19 – Треугольник мощностей

При х_L < x_C, напряжение U_L < U_C и угол φ будет отрицательным (вектор напряжения откладывается вниз от исходного вектора тока I против направления вращения векторов). В этом случае ток I опережает по фазе на угол φ приложенное напряжение U.

Из треугольника ОАВ следует:

; ; .

Разделив все стороны треугольника напряжений ОАВ на величину тока I, получим подобный треугольник сопротивлений (рис. 18), так как , и .

Из треугольника сопротивлений следует:

; ; ; .

Умножая ординаты тока и напряжения, можно получить кривую мгновенной мощности. Кривые, показанные на рис. 17, б, позволяют сделать следующие выводы:

- когда ток и напряжение имеют одинаковые знаки, мощность положительна. При этом часть энергии, посылаемой генератором в цепь, при возрастании тока накапливается у потребителя (в индуктивности) в виде энергии магнитного поля. Увеличение энергии магнитного поля в индуктивности потребителя происходит также за счет уменьшения энергии электрического поля конденсатора, которая переходит в магнитную энергию.

- когда ток и напряжение имеют разные знаки, мощность отрицательна, так как при уменьшении тока часть энергии магнитного поля, накопленная у потребителя, возвращается обратно генератору. Другая часть энергии магнитного поля потребителя (индуктивности) переходит в энергию электрического поля (конденсатора).

Мгновенная мощность переменного тока цепи, указанной на рис. 16, будет

(52)

Из выражения (52) следует, что мгновенная мощность состоит из двух величин: постоянной слагающей , не зависящей от времени, и переменной – с амплитудой UI, изменяющейся с двойной частотой по отношению к току и напряжению (рис. 17, б).

Средняя мощность за период, называемая активной мощностью, будет равна

(53)

Конус угла сдвига между током и напряжением называется коэффициентом мощности.

Как вытекает из формулы (53), при заданных значениях напряжения и тока величина активной мощности в цепи будет зависеть от .

Произведение UI называется полной или кажущейся мощностью и выражается в вольт-амперах (ва) или киловольт-амперах (ква).

(54)

Подставляя значение S из (54) в (53), получим активную мощность

. (55)

Если все стороны треугольника напряжений ОАВ (рис. 17, а) умножить на величину тока I, то можно получить подобный треугольник мощностей (рис.19).

Здесь – полная или кажущаяся мощность;

– активная мощность;

– реактивная мощность.

Из треугольника О^/А^/В^/ следует:

; ; ; . (56)

Если в цепи переменного тока имеется несколько последовательно соединенных активных, индуктивных и емкостных сопротивлений (рис. 20, а), то такую цепь можно представить в виде эквивалентной цепи (рис. 20, б). здесь активные, индуктивные и емкостные сопротивления сгруппированы, поэтому ; ; . От схемы рис. 20, б можно перейти к эквивалентной схеме, показанной на рис. 20, в. Величину тока в такой цепи можно определить по формуле (51).

Рисунок 20 – Цепь с последовательным соединением нескольких сопротивлений

Лекция №8

Дата добавления: 2014-10-31