Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть на плоскости заданы две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x_2, y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

(2.5.)

Это уравнение можно получить, если в уравнение (2.4.) подставить координаты точек M₁(x₁, y₁) и M₂(x_2, y₂): y₂ – y₁ = k(x₂ – x₁).

Выразим из этого равенства угловой коэффициент k:

(2.6)

В уравнение (2.4) вместо координат точки М₀ подставим координаты точки М₁ (х₁, у₁), а вместо k – выражение (2.6):

Из последнего равенства после несложных преобразований получается уравнение (2.5).

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1×A + (-1)×B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Дата добавления: 2014-10-31