Гипербола

М

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а.

у

r₁

r₂

F₁ O F₂ х

F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (-c; 0); F₂(c; 0)

Для любой точки М(х, у) эллипса расстояния до фокусов есть

По определению эллипса r₁ + r₂ = 2a

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Если а = с, то последнее уравнение дает у = 0 — уравнение отрезка [F₁, F₂]. Если же а > с, то, обозначив а² - с² = b² (а < с < b) и разделив на а²b², получим каноническое уравнение эллипса

, (3.3)

при этом а² - с² = b².

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Согласно этому уравнению, эллипс симметричен относительно осей координат. Положительные числа a, b называются большой и малой полуосями эллипса.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

е = с/a. (3.4)

Т.к. с < a, то е < 1.

При е = 0 имеем: а = b, с = 0 и эллипс превращается в окружность радиуса а. При е = 1 имеем: а = с, b = 0 и эллипс вырождается в отрезок [F_1, F₂].

Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r₁ = a – ex, r₂ = a + ex.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

1) Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F ₁(0; 0), F₂ (1; 1), большая ось равна 2.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

y

M(x, y)

b

r₁

r₂

x

F₁ a F₂

c

По определению ï r₁ – r₂ ï= 2 a. F₁, F₂ – фокусы гиперболы. F₁F₂ = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)

(3.5)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2 а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2 b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых (3.6)

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а² = b²:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c² = a² – b².

Для гиперболы: c² = a² + b².

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Дата добавления: 2014-10-31