Окружность

Уравнение вида

Ах² + Вху + Су² + Dx + Ey + F = 0,

где хотя бы одна из трех величин А, В или С не равна нулю, называется уравнение второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением – линией второго порядка.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4) a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y² = 2px – уравнение параболы.

6) y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y² = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии, называемом радиусом, от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Выведем уравнение окружности ради­уса R с центром в точке С(х₀, у₀). Для любой точки М(х, у) окружности имеем СМ = R или СМ² = R². Отсюда и получаем уравнение окружности:

(х — х₀)² + (у — у₀)² = = R². (3.1)

Если центр окружности расположен в начале координат, т.е. х₀ – 0, у₀= 0, то уравнение окружности имеет простейший вид и называется каноническим:

x² + y² = R². (3.2)

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

Дата добавления: 2014-10-31