Плоскость в пространстве

Уравнение поверхности и линии в пространстве.

Аналитическая геометрия в пространстве.

Определение. Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ координаты x, y, z связаны уравнением F(x,y,z) = 0 (1.1).

Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z (1.1.), является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки M(x,y,z), принадлежащей S и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Линию в пространстве L можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

Тогда систему двух уравнений

назовем уравнением линии L в пространстве.

Пусть Р – произвольная плоскость в пространстве. Точка М₀(x₀, y₀, z₀) Î Р. Вектор = (A,B,C) –ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости Р (нормальный вектор плоскости)

Необходимо получить уравнение плоскости.

Решение.

Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

× = 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

(5.1)

Уравнение (5.1) называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку.

Легко показать, что уравнение (5.1) приводится к виду:

Ax + By + Cz + D = 0 – уравнение 1-ой степени относительно переменных координат х, у, z (D = -Ax₀ – By₀ – Cz₀).

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0, (5.2)

где А, В, С – координаты вектора - вектор нормали к плоскости.

Рассмотрим особенности расположения плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты уравнения (5.2) обращаются в нуль.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. D = 0: Ax + By + Cz = 0– уравнение плоскости, проходящей через начало координат
2. А = 0: By + Cz + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной оси ОХ, т.к. нормальный вектор = (0,B,C) – перпендикулярен оси ОХ (его проекция на ось ОХ равна нулю). Аналогично при
• В = 0: Ax + Cz + D = 0 – плоскость параллельна оси Оу
• С = 0: Ax + By + D = 0– плоскость параллельна оси Оz
3. А = D = 0: By + Cz = 0 – уравнение плоскости, проходящей через ось Ох, поскольку она параллельна оси Ох (А=0) и проходит через начало координат (D=0). Аналогично при
• В = D = 0: Ax + Cz = 0 – плоскость проходит через ось Оу
• С = D = 0: Ax + By = 0 – плоскость проходит через ось Oz
4. А = В = 0: Cz + D = 0– уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОу, поскольку она параллельна осям Ох (А=0) и Оy (В=0). Аналогично:
• А = С = 0: By + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОz
• В = С = 0: Ax + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости yOz.
5. А = В = D = 0: Cz = 0 (z = 0) – уравнение координатной плоскости хОу, т.к. она параллельна плоскости хОу (А = В = 0) и проходит через начало координат (D=0). Аналогично при
• А = С = D = 0: By = 0 (y = 0) – плоскость совпадает с плоскостью xOz
• В = С = D = 0: Ax = 0 (x = 0)– плоскость совпадает с плоскостью yOz

Дата добавления: 2014-10-31