Основные теоретические положения. Работа 3. Определение оптимальных настроечных параметров

Цель работы

ПИ- регулятора

Работа 3. Определение оптимальных настроечных параметров

Задание на лабораторную работу

Даны две структурные схемы:

Рассчитать передаточные функции по управлению и возмущению каждой из схем.

По построенным характеристикам:

1. Определить, на что влияет положение звеньев в схеме.

2. Определить время переходного процесса.

3. Рассчитать перерегулирование.

4. Рассчитать коэффициент демпфирования.

5. Дать анализ устойчивости.

6. Определить ошибку системы.

7. Определить частоты среза.

целью работы является определение оптимальных настроечных параметров ПИ- регулятора по минимуму линейной интегральной оценки при ограничении на показатель колебательности М; определение влияния отклонений настроек регулятора от расчетных значений на качественные показатели системы.

Система автоматического управления с включенным регулятором может быть структурно представлена состоящей из двух динамических звеньев: объекта или неизменяемой части системы с передаточной функцией W _o(s) и регулятора W _p(s) (рис. 1).

f e u x

_

Рис. 1

Необходимые качественные показатели системы обеспечиваются выбором типа регулятора и определением его настроечных параметров. При разработке систем управления обычно задаются: точность системы в установившемся режиме - допустимая статическая ошибка e (или отсутствие статической ошибки) и критерии качества, определяющие переходный процесс в системе. В качестве такого критерия в данной работе используется линейная интегральная оценка. Параметры регулятора определяются из условия обеспечения минимума линейной интегральной оценки.

Типовые законы управления и выбор типа регулятора.

Типовые законы управления описываются следующими уравнениями.

1. Пропорциональный закон (П- регулятор).

Уравнение, описывающее пропорциональный закон управления,

u (t) = K _p e (t). (1)

Передаточная функция П- регулятора:

W (p) = K _p. (2)

П- регулятор имеет один настроечный параметр - коэффициент усиления К _р.

2. Пропорционально-интегральный закон (ПИ- регулятор).

ПИ- закон управления описывается уравнением

. (3)

Передаточная функция ПИ- регулятора

. (4)

ПИ- регулятор имеет два настроечных параметра - коэффициент усиления К _р и постоянную времени интегрирования Т _и (время изодрома).

3. Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон (ПИД- регулятор). Уравнение идеального ПИД- регулятора:

. (5)

Передаточная функция идеального ПИД- регулятора

. (6)

Точная реализация операции дифференцирования невозможна, поэтому реальный ПИД- регулятор имеет передаточную функцию:

. (7)

Здесь К _р - коэффициент усиления,

Т _и - постоянная времени интегрирования,

Т _д - постоянная времени дифференцирования,

Т ₁» 0,1 Т _д.

4. Пропорционально-дифференциальный закон (ПД- регулятор).

Уравнение идеального ПД- регулятора:

(8)

Передаточная функция идеального ПД- регулятора:

(9)

Из-за невозможности выполнить операцию точного дифференцирования передаточная функция ПД- регулятора может быть реализована в виде:

, (10)

где .

Чтобы исключить статическую ошибку, нужно включить в систему регулятор, обладающий интегральными свойствами, т.е. ПИ- или ПИД-регулятор.

Определение настроечных параметров регулятора из условия минимума линейной интегральной оценки.

Линейная интегральная оценка определяется выражением:

, (11)

где е _св(t) - свободная (динамическая) составляющая ошибки переходного процесса. Если система устойчива, то , интеграл J ₁ стремится к конечному значению, равному площади, заключенной между х _уст и x (t), где x (t) - переходная функция системы (рис. 2)

Рис. 2

На основании графика рис. 2 динамическая составляющая ошибки e _св(t) может быть определена так:

е _св(t) = x _уст 1 (t) - x (t). (12)

Если для е _св(t) найдено изображение по Лапласу Е _св(s), то

. (13)

Учитывая, что преобразование по Лапласу выражения (12) имеет вид,

. (14)

то

. (15)

Здесь W _з.с.(s) - передаточная функция замкнутой системы.

Следует отметить, что линейная интегральная оценка применима к монотонным или апериодическим процессам, поэтому при минимизации J ₁ по какому-либо параметру системы необходимо еще наложить ограничение на колебательность переходного процесса. Этими показателями могут быть: показатель колебательности М, запас устойчивости по фазе и амплитуде. Наиболее удобно использовать при синтезе систем показатель колебательности М, так как для хорошо демпфированных систем показатель колебательности выбирается в узких пределах М = 1,1 - 1,5.

От показателя колебательности системы зависит перерегулирование переходного процесса. В хорошо спроектированной системе перерегулирование, как правило, не должно превышать 20%, при этом показатель колебательности не должен превышать величины 1,2.

В данной лабораторной работе определяются оптимальные настроечные параметры ПИ-регулятора (4), обеспечивающие минимум линейной интегральной оценки при ограничении на показатель колебательности М £ М _зад.

Передаточная функция объекта в общем случае имеет вид:

(16)

где: Q (s) = b ₀ s ^m + b ₁ s ^m-1 + …+ b _m-1 s +1,

S (s) = a ₀ s ⁿ + a ₁ s ^n-1 + … + a _n-1 s + 1

Передаточная функция замкнутой системы с ПИ-регулятором:

(17)

и .

Тогда в соответствии с выражением (15)

. (18)

Следовательно, для минимизации J ₁ нужно определить К _р и Т _и таким образом, чтобы обеспечить минимум отношения 1 / K _p (или максимум К _р ) при ограничении М £ М _зад.

В общем схема определения оптимальных настроечных параметров ПИ-регулятора сводится к следующему. На основании заданного перерегулирования s по диаграммам определяют допустимое значение показателя колебательности М _зад. Далее задаются рядом значений постоянной интегрирования Т _и и для каждого Т _и определяют значение коэффициента усиления регулятора К _р, при котором М = М _зад. После этого строится график зависимости К _р = f (T _и) при М = М _зад. Максимум полученной зависимости определяет оптимальные значения настоечных параметров ПИ-регулятора.

Дата добавления: 2014-10-31