Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

· Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел:.

· Область значений:.

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.

· Функция вогнутая при.

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.

· Функция проходит через точку (0;1).

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть,.

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

· Область определения показательной функции:.

· Область значений:.

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при.

· Функция вогнутая при.

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.

· Функция проходит через точку (0;1).

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция, где,. Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при.

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда.

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

· Область определения логарифмической функции:. При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.

· Область значений:.

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Логарифмическая функция убывает на всей области определения.

· Функция вогнутая при.

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальных асимптот нет.

· Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().

Покажем графики логарифмических функций – синяя линия, – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

· Область определения:. При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.

· Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал.

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция возрастает при.

· Функция выпуклая при.

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальных асимптот нет.

· Функция проходит через точку (1;0).

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода, где Т -–период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют "«инусоида"»

Свойства функции синус y = sinx.

· Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при.

· Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи:.

· Функция обращается в ноль при, где, Z – множество целых чисел.

· Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть.

· Функция синус -–нечетная, так как.

· Функция убывает при,

возрастает при.

· Функция синус имеет локальные максимумы в точках,
локальные минимумы в точках.

· Функция y = sinx вогнутая при,
выпуклая при.

· Координаты точек перегиба.

· Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют "«осинусоида"» имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

· Область определения функции косинус:.

· Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи:.

· Функция обращается в ноль при, где, Z – множество целых чисел.

· Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно:.

· Функция косинус -–четная, так как.

· Функция убывает при,
возрастает при.

· Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках,
локальные минимумы в точках.

· Функция вогнутая при,
выпуклая при.

· Координаты точек перегиба.

· Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют "«ангенсоида"» имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

· Область определения функции тангенс:, где, Z – множество целых чисел.
Поведение функции y = tgx на границе области определения
Следовательно, прямые, где, являются вертикальными асимптотами.

· Наименьший положительный период функции тангенс.

· Функция обращается в ноль при, где, Z – множество целых чисел.

· Область значений функции y = tgx:.

· Функция тангенс -–нечетная, так как.

· Функция возрастает при.

· Функция вогнутая при,

выпуклая при.

· Координаты точек перегиба.

· Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют "«отангенсоида"»:

Свойства функции котангенс y = ctgx.

· Область определения функции котангенс:, где, Z – множество целых чисел.
Поведение на границе области определения
Следовательно, прямые, где являются вертикальными асимптотами.

· Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи:.

· Функция обращается в ноль при, где, Z – множество целых чисел.

· Область значений функции котангенс:.

· Функция нечетная, так как.

· Функция y = ctgx убывает при.

· Функция котангенс вогнутая при,
выпуклая при.

· Координаты точек перегиба.

· Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "«рк"»обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x).

Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

· Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно:.

· Область значений функции y = arcsin(x):.

· Функция арксинус -–нечетная, так как.

· Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при.

· Функция вогнутая при, выпуклая при.

· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

· Асимптот нет.

Функция арккосинус y = arccos(x).

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).

· Область определения функции арккосинус:.

· Область значений функции y = arccos(x):.

· Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при.

· Функция вогнутая при, выпуклая при.

· Точка перегиба.

· Асимптот нет.

Функция арктангенс y = arctg(x).

График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).

· Область определения функции y = arctg(x):.

· Область значений функции арктангенс:.

· Функция арктангенс -–нечетная, так как.

· Функция возрастает на всей области определения, то есть, при.

· Функция арктангенс вогнутая при, выпуклая при.

· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

· Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при. На чертеже они показаны зеленым цветом.

Функция арккотангенс y = arcctg(x).

Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).

· Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел:.

· Область значений функции y = arcctg(x):.

· Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Функция убывает на всей области определения, то есть, при.

· Функция вогнутая при, выпуклая при.

· Точка перегиба.

· Горизонтальными асимптотами являются прямые при (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при.

Глава VII. Простейшие показательные, логарифмические, тригонометрические, иррациональные, рациональные уравнения

аудиторные часы -–10 часов

самостоятельная работа – 5 часов

§1. Краткие теоретические сведения

Показательное уравнение

Что такое показательное уравнение? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там!

Самое простое показательное уравнение имеет вид

a^x = b,

Алгоритм решения:

1. Одинаковое основание – т.е. привести обе части уравнения к одному основанию.

2. Приравниваем «верхушки» – т.е. приравниваем показатели степеней, а про основание можно вообще забыть.

3. Решаем простое уравнение – находим х.

4. Проверка – т.е. подставляем значение х в самое первое уравнение.

Основные формулы

• a ¹ = а,

• a ⁰ = 1 (a ≠ 0),

• a ^-n = 1/a ⁿ

• a ^m a ⁿ = a ^m+n;

• а ^m:a ⁿ = a ^m-n;

• (ab) ⁿ = a ⁿ b ⁿ;

• (a ^m) ⁿ = a ^mn;

• (a:b) ⁿ = a ⁿ:b ⁿ.

Иррациональное уравнение

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком радикала называются иррациональными уравнениями. Например

Подчеркнем, что радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются в арифметическом смысле и они существуют если и только если подкоренное выражение неотрицательно.

Алгоритм решения:

1. Возвести в n-ую степень обе части уравнения. Чаще в квадрат, если просто корень;

2. «Убить» корни;

3. Решить простое уравнение;

4. Проверить – подставить ответ в самое первое уравнение с корнем.

Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

, (*)

при решении которого важную роль играет четность или нечетность.

Если - нечетное, то уравнение (*) равносильно уравнению

.

Если - четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений):. Уравнение (*) в этом случае равносильно системе:

.

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log a x = b.

(1)

Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Алгоритм решения:

1. Используя основные свойства логарифмов, преобразовать уравнение к виду

2. Потенцируем данное уравнение
Основные формулы

• a^log _a^b = b

• log _a1 = 0;

• log _aa = 1;

• log _a(bc) = log _ab + log _ac;

• log _a(b/c) = log _ab – log _ac;

• log _a (b ^c) = c log _ab;

• log_(a ^c₎ b = (1/c) log _ab;

• log _ab = (log _cb)/(log _ca)

• log _ab = 1/log _ba;

Тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие косинус - cos x.

Общий вид решения уравнения cos x = a, где | a | £ 1, определяется формулой:

x = ± arccos(a) + 2p k, k Î Z (целые числа), при | a | > 1 уравнение cos x = a не имеет решений среди вещественных чисел.

Уравнения, содержащие синус - sin x.

Общий вид решения уравнения sin x = a, где | a | £ 1, определяется формулой:

x = (- 1) ^k · arcsin(a) + p k, k Î Z (целые числа), при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решений среди вещественных чисел.

Уравнения, содержащие тангенс и котангенс - tg x и сtg x

Общий вид решения уравнения tg x = a определяется формулой:

x = arctg(a) + p k, k Î Z (целые числа).

Общий вид решения уравнения ctg x = a определяется формулой:

x = arcctg(a) + p k, k Î Z (целые числа).

Рациональное уравнение

Рациональное уоравнение — алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(х) — рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.

Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения.

Дата добавления: 2014-10-15