Нахождение площадей плоских фигур

Алгоритм вычисления наибольшего, наименьшего значения функции

Алгоритм вычисления функции на экстремумы и на возрастание (убывание)

1. Найти область определения функции

2. Найти f ′ (x)

3. Найти стационарные (f′(x)=0) и критические точки (f′(x) не существует)

4. Определить знаки производной, выполнить графическую иллюстрацию.

1. Найти f ′ (x)

2. Найти стационарные (f′(x)=0) и критические точки (f′(x) не существует) лежащие внутри отрезка [а;b]

3. Вычислить значение функции на концах отрезка и в отобранных точках (см. п.2)

4. Выбрать наименьшее значение (у_min) (наибольшее значение (у_max))

Первообразная

Первообразная. Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на промежутке X, если для любого х из Х выполняется равенство F'(x)=f(x)

Если F(х)-первообразная для функции f(х) на промежутке X, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F (x)+С, где С -–произвольная постоянная (основное свойство первообразной

Таблица первообразных.

Задача нахождения площади плоской фигуры тесно связана с задачей нахождения первообразных (интегрированием). А именно: площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y=f(x) (f(x)> 0) прямыми x=a; x=b; y= 0, равна разности значений первообразной для функции y=f(x) в точках b и a:

О

x

y

a

b

S

y=f(x)

S=F(b)–F(a)

Дадим определение определенного интеграла.

Определение. Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [ a,b ] и пусть F(x) – некоторая ее первообразная. Тогда число F(b)–F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и обозначается

.

Равенство называется формулой Ньютона–Лейбница.

Эта формула связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с интегралом.

§2. Практическая часть

Примеры

Производная

1.На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x ₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x ₀.

Ре­ше­ние.
Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу ACB. По­это­му

Ответ: 0,25.

2а ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­мень­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

Ре­ше­ние.
Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. Про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на в точ­ках −1 и 4. Мо­дуль тан­ген­саугла на­кло­на ка­са­тель­ной явно боль­ше в точке 4, по­это­му тан­генс в этой точке наи­мень­ший.

3.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

Ре­ше­ние.
Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−1; 5) дли­ной 6 и (7; 11) дли­ной 4. Длина наи­боль­ше­го из них 6.

Ответ: 6.

4.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

Ре­ше­ние.
Про­из­вод­ная изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции f(x) равна нулю в точ­ках экс­тре­му­мов: −4,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Про­из­вод­ная равна нулю в 4 точ­ках.

Ответ: 4.

5.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции, опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле. Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции на от­рез­ке.

Ре­ше­ние.
Точки ми­ни­му­масо­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­сана плюс. На от­рез­ке функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма.

Ответ: 1.

6.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке.

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Из урав­не­ния най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

На от­рез­ке [−2; 0] функ­ция убы­ва­ет, по­это­му она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке x = −2. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 12.

7.Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке.

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:.

Ответ: 12.

8.Най­ди­те точку ми­ни­му­мафунк­ции.

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма.

Ответ: 0.

9.Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции.

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма.

Ответ: −2.

10.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке.

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке:

На от­рез­ке функ­ция до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке мак­си­му­ма Най­дем его:

Ответ: 10.

Примеры

Первообразная

Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x²; y=0; x=0; x=4.

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c). Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.

Вершина параболы находится

в точке O′(m; n), где

О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения:

4х-х²=0.

Выносим х за скобки, получаем: х(4-х)=0. Отсюда, х=0 или х=4. Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).

2) y=0 — это ось Ох; 3) х=0 — это ось Оy; 4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по (ф. Н-Л). У нас f (x)=4x-x²,a=0, b=4.

Пример 2. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, прямыми, и осью Ox

Решение:

Ответ:

Пример 3. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, прямой и осью Ox

Решение:

Ответ:

Пример 4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и осью Ox

Поскольку функция четна, фигура, площадь которой требуется найти, симметрична относительно оси Oy, т.е. состоит из двух равновеликих фигур, следовательно,

  Ответ:.

Домашняя работа № 14

1.№ 27500. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.	2 27494. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 14). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−6; 9].
3 27496. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−10; 10].	4 27502. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функции f(x) на от­рез­ке [−2; 6].
5.№ 27499. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.	6.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции, опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле. В какой точке от­рез­ка при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Домашняя работа № 15

1 119971. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.	2.№ 27497. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.
3.№ 27488. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции, опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.	4.№ 27501. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых каса­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −2 x −11 или сов­па­да­ет с ней.
5.№ 27489. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней.	6.№ 27505. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x 0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x 0.

Домашняя работа № 16

1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке.

2. Найдите наименьшее значение функции на отрезке.

3. Найдите точку минимума функции.

4. Найдите точку минимума функции.

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке.

6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке.

7. Найдите точку максимума функции.

8. Найдите точку максимума функции.

Зачетная работа № 5

1. На рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

2.На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение.

3.На рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

4.На рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой.

5.На рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой.

6.На рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Найдите сумму точек экстремума функции.

7.На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

8.На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

9.На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. Найдите количество точек минимума функции, принадлежащих отрезку.

10.На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. Найдите количество точек экстремума функции, принадлежащих отрезку.

11. На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

12. На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

13. На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

14. На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них.

15. На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

16. На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. Найдите точку экстремума функции, принадлежащую отрезку.

17. На рисунке изображен график — производной функции, определенной на интервале. Найдите точку экстремума функции, принадлежащую отрезку.

18. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке.

19. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке.

Зачетная работа № 6

1. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке.

2. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке.

3. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке.

4. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке.

5. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции.

6. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции.

Образец контрольной работы

1.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

Ре­ше­ние.

За­дан­ная функ­ция имеет мак­си­му­мы в точ­ках −3, 0, 3, 6 и ми­ни­му­мы в точ­ках −1, 2, 5. По­это­му сумма точек экс­тре­му­маравна −3 + 3 + 0 + 6 −–1 + 2 + 5 = 12.

Ответ: 12.

2.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−3; 8].

Ре­ше­ние.

Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке [−3; 8] функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма x = 4.

Ответ: 1.

3.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ре­ше­ние.

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния дан­ной функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых ее про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−8; −4,5), (−2,5; −0,5) и (1,8; 3). Дан­ные ин­тер­ва­лы со­дер­жат целые точки −7, −6, −5, −2, −1, 2. Их сумма равна −19.

Ответ: −19.

4.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). Най­ди­те точку экс­тре­му­мафунк­ции f(x) на от­рез­ке [−5; 4].

Ре­ше­ние.

Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак, то это точка экс­тре­му­ма На от­рез­ке [–5; 4] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс, про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с ми­ну­сана плюс. Сле­до­ва­тель­но, точка −2 яв­ля­ет­ся точ­кой экс­тре­му­ма

Ответ: −2.

5.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции, опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция убы­ва­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (−3,8; 1,2) и (2,8; 4,4). В них со­дер­жат­ся целые точки −3, −2, −1, 0, 1, 3, 4. Их 7 штук.

Ответ: 7.

6.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−16; 4). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−14; 2].

Ре­ше­ние.

Точки экс­тре­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной — изоб­ра­жен­ным на гра­фи­ке нулям про­из­вод­ной. Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках −13, −11, −9, −7. На от­рез­ке [−14; 2] функ­ция имеет 4 точки экс­тре­му­ма

Ответ: 4.

7.На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке.

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−4; 6), B (−4; 4), C (4; 4). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

.

Ответ: −0,25.

8.Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что. Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции — от­кры­тый луч. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Най­ден­ные точки лежит на луче. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма.

Ответ: 1.

9.Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке.

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

.

Ответ: −109.

Глава IX. Элементы комбинаторики

Дата добавления: 2014-10-15