Количественные характеристики инерциальных свойств твердого тела

Одной из величин, характеризующих вращение твёрдого тела вокруг некоторой точки О (рис. 1) является момент импульса тела .Чтобы определить момент импульса тела, можно мысленно разбить тело на материальные точки массами (i - номер точки), найти вектор момента импульса каждой материальной точки, который равен векторному произведению радиус-вектора точки на вектор ее импульса , тогда .

Пусть тело вращается вокруг оси, проходящей через точку О и - его мгновенная угловая скорость. Тогда скорость i-той точки тела равна . Поэтому момент импульса тела относительно точки О равен:

(2.1)

Векторное равенство (2.1) можно записать в виде трёх проекций на оси координат:

(2.2)

Учитывая, что вместо (2.2) имеем:

(2.3)

где

(2.4)

и аналогично выражаются и т.д. Из (2.4) видно, что и т.д. Поэтому из 9 величин ... различны лишь 6. Величины называются осевыми моментами инерции, а - центробежными моментами инерции.

Таким образом, момент импульса тела весьма сложно зависит от распределения масс в теле и его направление не совпадает, вообще говоря, с угловой скоростью вращения тела. Совокупность величин

(2.5)

называется тензором инерции тела относительно точки О. Величины , , являются диагональными элементами тензора, а остальные - недиагональными. В данном случае величины, расположенные симметрично относительно диагонали, равны. Такой тензор называется симметричным. Если недиагональные элементы тензора равны нулю, а осевые отличны от нуля, то говорят, что оси тела, совпадающие с осями координат, являются главными осями инерции, а величины , , называют главными моментами инерции (часто их можно определить из соображений симметрии). Если главные оси проведены через центр масс, то они называются главными центральными осями. Тело, для которого , а остальные компоненты тензора равны нулю, называется шаровым волчком. При этом , т.е. направление момента импульса совпадает с направлением . Если , то тело называется симметричным волчком, а при говорят об асимметричном волчке.

Вычислим момент инерции твёрдого тела относительно произвольной оси ОА. Свяжем с точкой О декартовую систему координат и учтем, что (рис. 2), тогда . Пусть - единичный вектор, направленный вдоль оси ОА, тогда

Рис. 2

, .

Подставляя и в выражение для и учитывая, что , получаем:

,

где , , и т.д. компоненты тензора инерции.

Если оси координат являются главными центральными осями, то

. (2.6)

Теория метода. Колебательное движение крутильного маятника описывается уравнением, которое в проекции на ось вращения z имеет вид:

, (2.7)

где M_z - момент сил упругости относительно оси вращения, сообщающий системе угловое ускорение , - момент инерции относительно той же оси. Для упругих деформаций (амплитуда колебаний должна быть мала) , где - проекция вектора углового перемещения маятника на ось z (он направлен противоположно вектору момента сил упругости), - модуль кручения. Тогда:

, (2.8)

или

. (2.9)

Уравнение (2.9) является уравнением гармонических колебаний переменной j_z с циклической частотой . Следовательно .

Обозначим период колебаний рамки , тогда

,

где - момент инерции рамки. Для рамки с кубиком

,

где - момент инерции кубика с ребром (он равен ). Если в рамке закрепить параллелепипед, то период его колебаний , где - его момент инерции относительно оси вращения. Для него получаем:

. (2.10)

Рис. 3

Рассчитаем момент инерции параллелепипеда относительно оси, проходящей через точки и (см. рис. 3). Пусть , , . Тогда

(2.11)

Аналогично

,

(т.к. , , ).

С учётом (2.6)

. (2.12)

Для прямоугольного параллелепипеда

, , . (2.13)

Подчеркнём, что в данном случае

, , (2.14)

(оси координат совпадают с главными центральными осями тела). Тогда

; ; (2.15)

и с учётом

для угла и запишем

. (2.16)

С учётом (2.11) получаем

(2.17)

Дата добавления: 2014-11-25