Определение ускорений точек тела при плоском движении

Лекция 11

Положение точки М по отношению к осям Оху (рис. 11.4) определится радиусом вектора:

, где .

Дифференцируя дважды уравнение по времени, получим:

, отсюда следует, что

, (11.1)

где – ускорение точки А (полюс);

– ускорение точки при вращении вокруг точки А.

Так как точка М вращается вокруг полюса А по окружности, то разложим на составляющие – нормальную и касательную (рис. 11.1):

Тогда с учетом (11.1), получим (рис. 11.1а):

.

Рис. 11.1

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение будет слагаться из касательного и нормального и тогда

, (11.2)

Пример 1 (18.11).

Для механизма, представленного на рис. 5.2 угловое ускорение кривошипа ОА , ОА = 15см. Определить ускорение звена АВ в данном положении механизма, при t = 1c.

Решение

Рис. 11.2

Вначале определим ускорение точки В, выбрав за полюс точку А:

. (1)

Так как точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О, тогда:

,

где ; – угловая скорость кривошипа ОА.

.

; , тогда: ;

.

Точка В совершает вращательное движение вокруг точки А по окружности, тогда

,

где – нормальная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;

;

– касательная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;

.

Для определения и определим скорость в точке В. Построим мгновенный центр скоростей для звена АВ. Точка О является м.ц.с. для звена АВ. Тогда

.

Так как , тогда

, отсюда .

Изобразим отдельно звено АВ с соответствующими ускорениями (рис. 11.3):

Рис. 11.3

С учетом сделанных расчетов уравнение (1) запишем в виде:

.

Спроектируем это векторное уравнение ВА на оси координат:

.

Подставляя полученные значения, получим:

.

Из треугольника ОАВ сторона см.

; .

Тогда

Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и . Решая эту систему относительно неизвестных, получим: см/с², знак минус (-) означает, что истинное направление ускорения точки имеет противоположное направление выбранному; – угловое ускорение звена АВ.

Так как точки D и В принадлежат одному звену DB, которое совершает возвратно-поступательное движение, поэтому все точки этого звена имеют одинаковые скорости и ускорения по величине и направлению. Вследствие этого ускорение точки D будет: см/с² и направлено вертикально вверх.

Ответ: см/с², .

Пример 2.

На рис. 11.4. представлен механизм в данном положении: , , , , , I₁ = 0,6м, I₂ = 1,2м, I₃ = 1,4м, I₄ = 0,8м, . Определить V_A, V_B, V_D, V_E, , , а_А, а_В, а_D, а_Е, , , , . Точка D является серединой звена I₂.

Рис. 11.4

Решение

Определим скорость точки А. Так как точка А движется по окружности, то

м/с.

м/с.

Вектор скорости перпендикулярен I₁.

Вектор скорости точки В направлен перпендикулярно звену I₄, а для вычисления модуля, определим мгновенный центр скоростей звена I₂, которому принадлежат точки А, В и C₂ – является мгновенным центром скоростей звена I₂. Составим соотношение:

, отсюда .

Так как угол С₂ВА = 60⁰, угол ВАС₂ = 180-120 = 60⁰, то угол ВС₂А = 60⁰.

Это означает, что треугольник ВС₂А является равносторонним поэтому

ВС₂ =АС₂, тогда V_B = V_A = 5,4 м/с., т.е. V_B = 5,4 м/с.

Для определения скорости точки D соединим точку С₂ с точкой D и проведем линию, перпендикулярную DC₂. Так как в равнобедренном треугольнике медиана является высотой и биссектрисой, то направление вектора скорости точки D совпадет с направлением звена I₂. Модуль скорости точки D определим из соотношения:

, отсюда .

Из прямоугольного треугольника DC₂A следует, что

(м)

(м/с); м/с.

; .

Направление скорости точки Е совпадает с направляющей ползуна, т.е. имеет вертикальное направление. Зная направления векторов скоростей точек D и Е, принадлежащих звену I₃, определим мгновенный центр скоростей звена I₃. Это будет точка С₃, тогда составим соотношение:

, отсюда .

Рассмотрим треугольник С₃DE. Так как угол С₃ = 30⁰ и угол Е = 30⁰, то этот треугольник равнобедренный, т.е. DE = DC₃;

(м);

Тогда (м/с); м/с.

; .

Определим угловую скорость звена I₄:

; .

Определим ускорение точки А (рис. 11.5).

Рис. 11.5

Точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О₁. Поэтому ускорение точки А разложим на нормальную и касательную составляющие:

,

где (м/с²); м/с².

, так как по условию задачи , а , то , тогда . Поэтому м/с²; м/с².

Определим ускорение точки В, выбрав точку А за полюс. Тогда

, (1)

где – ускорение, связанное с вращением точки В вокруг А.

, (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

. (3)

Так как точка В вращается вокруг неподвижного центра О₂, то разложим ускорение точки В на нормальную и касательную составляющие:

. (4)

Подставляя уравнение (4) в уравнение (3), получим:

. (5)

Выберем оси координат таким образом, что ось х будет направлена вдоль звена I₂.

Спроектируем уравнение (5) на оси координат:

на ось х:

на ось у:

(6)

Так как: (м/с²); м/с².

м/с².

(м/с²); м/с².

В системе двух уравнений (6) имеется две неизвестные: и , т.е. система уравнений имеет решение и притом только единственное. Подставим численные значения в систему уравнений (6):

Решая это уравнение, получим:

, отсюда следует, что

В связи с тем, что ,

; .

Ускорение точки В будет:

(м/с²);

м/с².

Определим ускорение точки D, выбрав за полюс точку А. Тогда

, (7)

Так как , а ускорение разложим на составляющие и (рис. 11.6).

Рис. 11.6

Учитывая, что , уравнение (7) примет вид:

. (8)

Спроектируем векторное уравнение (8) на выбранные оси координат:

на ось х:

на ось у: .

Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и , так как м/с²; (м/с²); м/с²; (м/с²); м/с². Тогда полученная система двух уравнений примет вид:

Отрицательное значение указывает, что истинное направление вектора противоположно выбранному.

Ускорение точки D будет:

(м/с²);

м/с².

Определим ускорение точки Е. Направление вектора ускорения точки Е, будет совпадать с направляющей ползуна (рис. 11.7). На рис. 11.7 изображен фрагмент механизма, включающий звено I₃ и ползун Е.

Рис. 11.7

Ускорение точки Е будем определять, выбрав за полюс точку D, тогда:

, (9)

Учитывая, что , и , тогда уравнение (9) примет вид:

, (10)

Выберем оси координат, как показано на рис. 11.7, т.е. ось х направим вдоль направления звена I₃ и спроектируем векторное уравнение (10) на оси координат:

на ось х:

на ось у: .

Представленные два уравнения образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными: и , так как м/с²; м/с²; (м/с²), т.е. м/с². Подставляя численные значения, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

После преобразований получим:

отсюда следует

Ускорение точки Е составляет м/с² (знак минус указывает, что истинное направление вектора ускорения имеет противоположное значение выбранному).

Так как , то , т.е. .

Таким образом, определены все значения кинематических характеристик, указанные в вопросе задачи.

Вопросы для самоконтроля

1. Определение ускорений точек твердого тела?

2. Определение углового ускорения твердого тела при плоском движении?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 18.1 – 18.36 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 12

Дата добавления: 2014-11-26