Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция № 11 Пределы





Лекция № 10 Функция.

Цель: Ввести понятие функции, переменной величины (зависимой, независимой). Рассмотреть основные виды функций, свойства функций.

 

  1. Определение функции. Способы задания функции.
  2. Виды функций.
  3. Свойства функций.

 

1. Определение: Функция – это правило или закон, по которому одной переменной величине х (независимой) сопоставляется другая переменная величина у (зависимая).

Обозначается как у = f(x).

Определение: Множество всех значений х, для которых функция существует, называется областью определения функции. D(x).

Определение: Множество всех значений у, для которых функция существует, называется областью значения функции. Обозначается как E(y).

Способы задания функции:

· Аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Аналитическое задание состоит в том, что дается формула указывающая, какие математические действия следует выполнить над каждым значением аргумента функции. Этот способ наиболее часто встречается на практике.

· Табличный способ состоит в том, что функциональная зависимость задается в виде таблицы, содержащей ряд числовых значений аргумента и соответствующих им значений функции. Этот способ является наиболее удобным, когда изучается зависимость между переменными величинами по результатам наблюдения.

· Графический способ задания функции состоит в том, что в данной прямоугольной системе координат задается некоторая кривая. Абсцисса каждой точки кривой дает значение аргумента х, а ордината той же точки – соответствующее значение формуле у.

· Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.

 

2. Функции бывают алгебраические и трансцендентные (сложные).

С алгебраическими функциями встречались в школьном курсе алгебры.

· Степенная функция у = х n, где n – действительное число.

· Показательная функция у = а х, где а – положительное число, не равное единице.

· Логарифмическая функция y = log a x, где основание логарифма а – положительное число, не равное единице.

· Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

· Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Сложные функции представляют собой зависимость одной функции от другой.

 

3. Свойства функций.

· Четность, нечетность. f (-х) = f (х) – четная, f (-х) = -f (х) – нечетная.

· Монотонность. Возрастание и убывание функции.

· Ограниченность.

· Периодичность.

 

Цель: Ввести понятия предела последовательности, предела функции, бесконечно большой и бесконечно малой величин. Рассмотреть основные теоремы о пределах, замечательные пределы. Закрепить эти понятия на практике.



 

  1. Предел последовательности. Предел функции.
  2. Основные теоремы о пределах.
  3. Замечательные пределы.

 

1. Предел функции в точке.

 
 


y f(x)

 

 

A + e

A

A - e

 

0 a - D a a + D x

 

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение: Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что 0 < ïx - aï < D верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде: Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение: Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.


у

f(x)

 

А2

 

А1

 

0 a x

 

 

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:

Графически можно представить:

 

y y

 

 

A A

 

0 0

x x

 

 

 
 

 


y y

 

 

A A

 

0 0

x x

 

 

Аналогично можно определить пределы для любого х>M и

для любого х<M.

2. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1: , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2:

Теорема 3:

Следствие:

Теорема 4: при

Теорема 5: Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

 

Теорема 6: Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Бесконечно малые функции.

Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

 

Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенствоïf(x)ï>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < ïx - aï < D

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим: а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

 
 

 

 


a x a x a x

 

 

Определение. Функция называется бесконечно большойпри х®а, где а – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

 

3. Некоторые замечательные пределы.

Первый замечательный предел. , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

 

Итого:

Второй замечательный предел.

Третий замечательный предел.

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

 





Дата добавления: 2014-11-26; Просмотров: 240; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.062 сек.