Лекция № 16 Определенный интеграл

Цель: Ввести понятие определенного интеграла через предельную сумму. Рассказать о формуле Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла. Выяснить геометрический смысл определенного интеграла. Ввести понятие несобственных интегралов I и II рода и показать способ их решения.

1. Определенный интеграл.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Вычисление определенного интеграла.

4. Несобственные интегралы.

1. Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y

M

m

0 a x_i b x

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = Dx₁, x₂ – x₁ = Dx₂, …,x_n – x_n-1 = Dx_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x₀, x₁] ® m₁, M₁; [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n-1, x_n] ® m_n, M_n.

Составим суммы: _n = m₁Dx₁ + m₂Dx₂ + … +m_nDx_n =

_n = M₁Dx₁ + M₂Dx₂ + … + M_nDx_n =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i £ M_i, то _n £ _n, а m(b – a) £ _n £ _n £ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e. x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e < x₂, …, x_n-1 < e < x_n.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Тогда можно записать: m_iDx_i £ f(e_i)Dx_i £ M_iDx_i

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxDx_i – наибольший отрезок разбиения, а minDx_i – наименьший. Если maxDx_i® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение:

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

2. Свойства определенного интеграла.

1)

2)

3)

4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8)

3. Вычисление определенного интеграла.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

4. Несобственные интегралы.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥).

Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример.

- интеграл сходится

Интеграл от разрывной функции.

Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то

Если интеграл существует, то интеграл - сходится, если интеграл не существует, то - расходится.

Если в точке х = а функция терпит разрыв, то .

Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то

Таких точек внутри отрезка может быть несколько.

Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.

Лекция № 17 Геометрические приложения определенного интеграла.

Цель: Показать применение теории об определенных интегралах на практике.

1. Вычисление площади плоской фигуры.

2. Вычисление длины дуги кривой.

3. Вычисление объемов тел.

4. Вычисление площади поверхности.

1. Вычисление площадей плоских фигур.

у

+ +

0 a - b x

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Нахождение площади криволинейного сектора.

r = f(j)

b

a

О r

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

2. Вычисление длины дуги кривой.

y y = f(x)

DS_i Dy_i

Dx_i

a b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений: В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем

,

где х = j(t) и у = y(t).

3. Вычисление объемов тел.

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Q(x_i-1)

Q(x_i)

a x_i-1 x_i b x

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х_i разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [x_i-1, x_i] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_iDx_i и m_iDx_i здесь Dx_i = x_i - x_i-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y = f(x)

x

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

4. Площадь поверхности тела вращения.

М_i B

А

х

x_i

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M₀, M₁, M₂, …, M_n. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x_i и y_i. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DP_i. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь DS_i – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа к отношению .

Получаем:

Тогда

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.

Дата добавления: 2014-11-26