ВВЕДЕНИЕ. Данное учебное пособие является почти дословной записью годового курса лекций, прочитанных автором в течение ряда лет на первом курсе механико-математического

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

С.Г. Кононов

Данное учебное пособие является почти дословной записью годового курса лекций, прочитанных автором в течение ряда лет на первом курсе механико-математического факультета Белгосуниверситета.

Общепризнано особое положение математики среди других наук, которое заключается в строгости ее определений и построений, абсолютной истинности математических утверждений – именно это привлекает к математике многих людей. Строгость математической науки достигается тем, что теоремы той или иной области математики выводятся (доказываются) по определенным логическим законам из некоторых сравнительно простых утверждений, которые в этой области считаются истинными, т.е. из аксиом. В наибольшей степени это относится к геометрии, изложение которой в "Началах" Евклида (III в. до н.э.) было первым в истории человечества аксиоматическим построением научной теории. Содержание "Начал" до сих пор остается основой школьной, элементарной геометрии. В дальнейшем аксиомы Евклида были всесторонне изучены и дополнены. Наиболее известной является аксиоматика Д. Гильберта[1], включающая 20 аксиом.

Разумеется, полное и скрупулезное аксиоматическое изложение евклидовой геометрии в школе невозможно по многим причинам. Это происходит в высшей математике в рамках дисциплины "Основания геометрии". В аналитической геометрии мы не будем рассматривать аксиоматику Гильберта[2], тем не менее, используя в начале нашего курса материал элементарной школьной геометрии, мы можем быть уверены в его возможном строгом обосновании в рамках аксиоматики Гильберта. Кроме гильбертовской, существуют и другие аксиоматики евклидовой геометрии, среди них, прежде всего, следует упомянуть аксиоматику Г. Вейля[3].

Аксиоматическое построение теории предполагает наличие некоторых первичных (неопределяемых) понятий и первичных отношений между ними, свойства которых описываются аксиомами. В аксиоматике Гильберта евклидовой геометрии первичными понятиями являются точка, прямая, плоскость, первичными отношениями – инцидентность, лежать между, конгруэнтность. В аксиоматике Вейля первичными понятиями являются понятия точка и вектор, первичными отношениями – операции над векторами и точками.

Аналитическая геометрия изучает геометрические фигуры с помощью алгебры, используя метод координат. Впервые этот метод применил французский математик и философ Рене Декарт (1596 – 1650). В его честь наиболее часто используемые системы координат называются декартовыми. В общем случае введение координат в некотором множестве означает замену элементов этого множества элементами другого, более удобного для исследования, множества. В геометрии метод координат позволяет заменять точки пространства тройками вещественных чисел и формулировать геометрические утверждения с помощью уравнений, неравенств и других формальных выражений. Решая уравнения или исследуя их алгебраическими методами, получают решение геометрической задачи или описывают свойства фигур.

В основе современного изложения метода координат лежит понятие вектора, с чего и начинается лекционный курс. Векторам посвящена первая глава книги. …

ГЛАВА 1

Дата добавления: 2014-11-09