Сложение векторов. Умножение векторов на числа

В множестве V (E³) векторов пространства определим операции сложения векторов и умножения векторов на вещественные числа.

Пусть V (E³). Отложим вектор от некоторой точки т.е. построим точку такую, что затем от точки отложим вектор т.е. построим точку такую, что Рассмотрим вектор (рис. 10).

Рис. 10

Покажем, что полученный вектор будет одним и тем же независимо от выбора точки Другими словами, пусть – точка, отличная от точки Повторим операции откладывания этих же векторов, но от точки Получим точки и такие, что Убедимся, что

Утверждение 1.2.1. Пусть E³, Тогда

Доказательство. По условию, поэтому по следствию 1.1.1 утверждения 1.1.1 имеем: Аналогично, из условия получаем, что Следовательно, Еще раз применяя следствие 1.1.1, получаем что и означает искомое равенство 

Доказанное утверждение делает корректным следующее определение.

Определение 1.2.1. Суммой вектора и вектора называется вектор

Таким образом, для любых трех точек E³ верно равенство

(2)

которое называется равенством треугольника.

Упражнение 1,2.1. Докажите, что сумма двух неколлинеарных векторов и может быть вычислена по следующему правилу параллелограмма: сумма векторов-сторон параллелограмма равна вектору-диагонали (рис. 11).

Рис. 11

Отметим следующие основные свойства сложения векторов, справедливые для любых векторов V (E³).

Теорема 1.2.1. (i) = (коммутативность сложения векторов);

(ii) = (ассоциативность сложениявекторов);

(iii) (нулевой вектор является нейтральным элементом относительно сложения);

(iv) для любого вектора V (E³) существует противоположный вектор V (E³), т.е. такой, что .

Все утверждения теоремы легко следуют из определения суммы векторов. Докажем, например, пункт (iv). Действительно, для любого вектора противоположным вектором является вектор так как С алгебраической точки зрения теорема 1.2.1 означает, что множество всех векторов пространства V (E³) относительно операции сложения является абелевой группой.

Используя понятие противоположного вектора, определим обычным образом операцию вычитания (разности) в множестве векторов.

Определение 1.2.2. Если и произвольные векторы, то разностью вектора и вектора называется вектор

Разность вектора и вектора обозначается Из равенства треугольника (2) следует, что для любых точек E³ верно равенство

(3)

Упражнение 1.2.2. Докажите пункты (i) – (iii) теоремы 1.2.1.

Имея более чем два вектора их можно последовательно сложить по формуле При этом будем использовать правило треугольника, т.е. отложим вначале вектор от точки получив точку такую, что затем отложим вектор от точки получив точку такую, что и т. д. (рис. 12).

Рис. 12

В итоге получим ломаную Сумма будет равна вектору Такой способ построения суммы нескольких векторов называется правилом замыкающей (отрезок замыкает ломаную ). Сумму этих же векторов можно вычислить, расставляя скобки по другому, т.е. выполняя раз операцию сложения в другом порядке. Свойство ассоциативности сложения векторов позволяет утверждать, что результат сложения всякий раз будет один и тот же. Поэтому можно не уточнять порядок выполнения сложения и обозначить вектор-сумму

Упражнение 1.2.3. Докажите, что сумму трех некомпланарных векторов можно вычислить по правилу параллелепипеда: сумма векторов-ребер, выходящих из одной вершины параллелограмма равна вектору-диагонали, выходящему из этой же вершины: (рис. 13).

Рис. 13

Поскольку операция откладывания векторов плоскости от точек этой плоскости не выводит нас из плоскости, то сумма двух векторов плоскости E² дает вновь вектор плоскости E². Это означает, что определение 1.2.1 задает операцию сложения и в множестве V (E²) векторов плоскости E². Легко видеть, что утверждения теоремы 1.2.1 остаются справедливыми при замене V (E³) на V (E²), т.е. множество V (E²) также является абелевой группой относительно операции сложения.

Все сказанное в предыдущем абзаце очевидно справедливо и для прямой, следовательно, определение 1.2.1 задает операцию сложения в множестве V (E¹) векторов прямой E¹ имножество V (E¹) является абелевой группой относительно операции сложения.

Если прямая, плоскость в пространстве E³, то, учитывая принятое выше соглашение о том, что V () V (E³) и V () V (E³), можно утверждать, что V () и V () являются подгруппами группы V (E³).

Теперь перейдем к операции умножения векторов на числа.

Определение 1.2.3. Пусть произвольный вектор, произвольное вещественное число. Произведением вектора на число называется вектор, который обозначается и определяется следующими условиями:

(i)

(ii)

Из условия (i) следует, что вектор нулевой тогда и только тогда, когда вектор нулевой или число равно нулю. Отметим также, что для любого числа векторы и коллинеарны.

Если вектор является вектором некоторой плоскости или некоторой прямой , то умножение на число не выводит вектор из соответствующего множества. Другими словами:

и

Операция умножения вектора на число обладает следующими основными свойствами.

Теорема 1.2.2. Для любых векторов и для любых чисел верны равенства:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

Доказательство. Равенство (iv) очевидно следует из определения 1.2.2.

Равенство (iii) вытекает из того, что векторы в правой и левой частях имеют одну и ту же длину и одинаково направлены (их направление совпадает с направлением вектором , если числа и одного знака и противоположно направлению вектора , если числа и разных знаков).

Равенство (ii) доказывается аналогично (iii) путем сравнения длин и направлений векторов в левой и правой частях; читателю предлагается провести рассуждение самостоятельно.

Равенство (i) докажем в общем случае, т. е. когда векторы и не коллинеарны и число не равно нулю. Отложим векторы и от некоторой точки Получим соответственно точки и такие, что треугольник (рис.14).

Рис. 14

Отложим также векторы и от точки Получим соответственно точки и такие, что треугольник. Очевидно, треугольник подобен треугольнику и коэффициент подобия равен Записывая равенство отношений длин соответствующих сторон и учитывая знак числа получаем:

Учитывая равенство (3), последнее соотношение можно переписать в виде

или

Таким образом, для любых неколлинеарных векторов и и любого ненулевого числа верно равенство Заменяя в нем вектор на , получаем: что и требовалось доказать. В случаях, когда векторы и коллинеарны, или доказательство предлагается провести читателю в качестве упражнения.

Замечание 1.2.1. Тот факт, что операции сложения векторов и умножения векторов на вещественные числа удовлетворяют утверждениям теорем 1 и 2 на языке линейной алгебры означает, что является вещественным векторным пространством.

Дата добавления: 2014-11-09