Лекция 11

Условным законом распределения одной случайной величины,входящей в систему, называется закон, найденный при условии, что другая случайная величина, входящая в эту же систему, приняла определенное значение. Условный закон распределения задается как функцией распределения, так и плотностью распределения. Если рассматривается распределение случайной величины ξ_i при условии, что другая случайная величина ξ_j приняла определенное значение, то условная функция распределения обозначается

F(x/y), а плотность – f(x/ y).

Важными характеристиками являются условные математические ожидания и условные дисперсии. Пусть случайная величина ξ_i принимаетзначения

a = (), а случайная величина ξ_j - b = ().

Условным математическим ожиданием дискретнойслучайной величины ξ_i при ξ_j = bназывают сумму произведений возможных значений ξ _i на их условные вероятности_. Тогда условное математическое ожидание вычисляется по формуле:

M(ξ_i / ξ_j=b) = . (27)

Для непрерывных случайных величин

M(ξ_i / ξ_j=b) = . (28)

Особая роль в изучении системы случайных величин принадлежит корреляционному моменту (ковариации). Ковариацией случайных величин ξ _i и ξ_j называется число

= cov(ξ_iξ_j) = M((ξ _i-M(ξ _i))(ξ _j-M(ξ_j)))=M(ξ_iξ_j)-M(ξ_i)M(ξ_j), i,j=1,2,…n.

Для независимых случайных величин ковариация равна нулю т.к. в этом случае M(ξ_iξ_j) = M(ξ_i)M(ξ_j).

Очевидно, что = = D(), cov(ξ_iξ _j) = cov(ξ ξ )

Все парные ковариации составляют симметричную относительно главной диагонали ковариационную матрицу размерностью (n n).

=

Определитель ковариационной матрицы является обобщенной дисперсией системы случайных величин..

Рассмотрим систему только двух случайных величин, пусть ξ₁, ξ₂. Пусть случайная величина ξ₁ принимает значения из множества X, ξ₂ – из множества Y, (X,Y) -действительные числа. Мерой линейной зависимости двух случайных величин ξ₁, ξ₂ является коэффициент корреляции

,

Свойства коэффициента корреляции:

1. |ρ| .

2. |ρ|=1 тогда и только тогда, когда между случайными величинами существует

линейная функциональная взаимосвязь

y = аx + b, (29)

где ,

причем, если ρ= 1, то a > 0, если ρ= -1, то a < 0 (Рис. 15)

Рис. 15.

Для независимых случайных величин ρ = 0, но обратное утверждение неверно, т.к. между случайными величинами может быть другой тип взаимосвязи (нелинейной).Чем ближе значение ρ к нулю, тем слабее линейная взаимосвязь, чем ближе по модулю к единице, тем -сильнее. Если ρ = 0, то говорят, что случайные величины некоррелированы. Можно показать, что если нормально распределенные случайные величины некоррелированы, то они и независимы.

Пусть –1<ρ<1 и ρ≠0. Если нанести точки (X,Y) на координатную плоскость XoY, то можно заметить, что эти точки группируются вокруг некоторой прямой y = ax + b. Вычислим коэффициенты a,b этой прямой из условия, что дисперсия отклонений точек (X,Y) от точек на прямой была минимальна.

.

Дата добавления: 2014-11-16