Центральные моменты

Начальные моменты.

Лекция 10. Моменты случайных величин.

Начальным моментом порядка k называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины

υ_к = M(ξ^к), k = 1,2,…n (16)

υ₁ = M(ξ), первый начальный момент – это математическое ожидание.

Центральным моментом степени k называется математическое ожидание к-ой степени отклонения случайной величины от среднего значения.

μ_к = М (ξ-М(ξ))^к (17)

μ₁ = М (ξ-М(ξ)) = 0

μ₂ = М (ξ-М(ξ))² = D(ξ)

Центральные моменты всегда можно выразить через начальные.

Например:

М₂= М(ξ-М(ξ))² = М (ξ²-2ξМ(ξ)+М²(ξ) = М(ξ²) - М(2ξМ(ξ))+М(М²(ξ)) = М(ξ²)-2М(ξ)М(ξ)+М²(ξ) = М(ξ²) -М²(ξ) = υ₂ - υ₁²

Центральный момент степени k можно преобразовать к выражению через начальные моменты, используя формулу бинома Ньютона.

Запишем формулы для 3-го и 4-го центральных моментов:

μ₃ = υ₃ - 3υ₁υ₂ + 2υ₁²

μ₄ = υ₄ - 4υ₁υ₃ + 6υ₁υ₂² - 3υ₁⁴

Коэффициент асимметрии

(18)

характеризует степень асимметричности распределения. Для симметричного распределения А=0. При А<0 – левосторонняя асимметрия, А>0 – правосторонняя асимметрия.

Рис.13

Коэффициент эксцесса

(19) характеризует степень островерхости распределения. Для нормального распределения Е=0.

Рис. 14.

Дата добавления: 2014-11-16