Волновое уравнение

Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии, который для упругих волн называется вектором Умова (по имени русского ученого Н.А.Умова, решившего задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Для вывода уравнения бегущей волны - зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени - рассмотрим плоскую волну. Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис.1.). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а т.к. все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от х и t, т.е. x=x(х,t).

Рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х (рис. 1). Если колебания точек, лежащих в плоскости х=О, описываются функцией x(О,t)=А cos wt, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на t, т.к. для прохождения волной расстояния х требуется время t=х / V (V - скорость распространения волны). Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

x(х,t)=А cos w (t-х/V). (1.1)

Откуда следует, что x(х,t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (1.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

x(х,t)=А cos w (t + х/V).

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

x(х,t)=А cos [w(t-x/V)+j₀],(1.2)

где А =const - амплитуда волны; w -циклическая частота волны; j₀-начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t; [w(t-x/V)+j₀] - фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

k= 2p/l= 2p / VT= w / V. (1.3)

Дата добавления: 2014-11-16