В точках, где

Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны - образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид

x₁=А cos (wt-kx),

x₂=А cos (wt+kx). (1.10)

Сложим эти уравнения с учетом, что k=2p/l( см.(1.3.). Получим уравнение стоячей волны:

x=x₁+x₂=2 А cos kx cos wt=2 A cos (2px/l)wt. (1.11)

Из (1.11) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты w с амплитудой А_СТ=2 А cos (2px/l), зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

2px/l=±mp (m=0,1,2,...), (1.12)

амплитуда колебаний достигает максимального значения 2А. В точках среды, где 2pх/l= ±(m=+1/2)p (m=0,1,2,..), амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебания максимальна - (А_СТ=2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (А_СТ=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (1.11) и (1.12) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

Х_п=±m l/2 (m=0,1,2,....), (1.13)

х_УЗЛ=±(m+1/2) ×l/2 (m=0,1,2,...). (1.14)

Из формул (1.13) и (1.14) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны l/2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны l/4.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (1.10) фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (в уравнении (1.11) аргумент косинуса не зависит от х). При переходе через узел множитель 2 А cos (2pх/l) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна вместе с бегущей и образует стоячую. На границе где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность (рис. 3,а), если более плотная - узел (рис. 3,б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную, и колебания противоположных направлений суммируются у границы. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит, и колебания с одинаковыми фазами складываются у границы - получается пучность.

Рис. 3

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженные волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот .

Дата добавления: 2014-11-16