РЕШЕНИЕ. Построим треугольник

Построим треугольник .

Рисунок 1. Треугольник .

1. Найдём длину стороны . В общем случае если точки имеют координаты и , то длина равна:

.

В нашем случае имеем: , тогда,

единицы длины.

То есть,

единицы длины.

2. Найдём уравнение линии . В общем случае, если и , то уравнение определяется уравнением

.

В нашем случае имеем , тогда,

.

Уравнение линии есть:

.

3. Найдём уравнение высоты, проведённой из точки .

Высота перпендикулярна стороне . Угловые коэффициенты для перпендикулярных сторон связаны соотношением

.

Угловой коэффициент стороны равен , следовательно,

.

Уравнение высоты имеет вид

.

Свободный член найдём исходя из того, что данной высоте принадлежит точка .

.

Следовательно, уравнение высоты имеет вид

.

4. Найдём длину высоты , проведённой из точки .

Координаты точек равны . Координаты точки найдём из системы уравнений, как пересечение прямых .

.

То есть, .

Тогда, длина высоты найдётся по формуле:

.

единиц длины.

То есть, длина высоты равна

единиц длины.

5. Найдём площадь треугольника. Площадь треугольника равна:

единицы площади.

То есть, площадь треугольника равна

единицы площади.

6. Найдём угол между сторонами и . Определим векторы и .

В общем случае если точки имеют координаты и , то вектор определяется так: .

Тогда, так как, , получим:

.

.

Скалярное произведение векторов есть:

.

Последнее равенство можно расписать через координаты векторов:

.

В нашем случае имеем: и , тогда,

.

Таким образом, угол между сторонами и равен .

7. Найдём координаты точки – середины стороны .

В общем случае для точек и , координаты точки – середины стороны , определяются условием:

, .

В нашем случае имеем: , тогда,

, .

То есть, .

8. Найдём координаты точки делящей сторону в отношении , считая от точки .

Координаты искомой точки найдём по формулам:

, .

В нашем случае имеем , . Тогда,

, .

То есть, .

ЗАДАНИЕ 4

По четырем заданным точкам построить пирамиду и средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра ,

2) угол между ребрами и

3) площадь грани ,

4) объем пирамиды ,

5) уравнение плоскости ,

6) нормальный вектор плоскости ,

7) уравнение прямой линии, походящей через точку перпендикулярно плоскости .

, , , .

Дата добавления: 2014-11-16