Основні поняття та визначення. Інженеру часто доводиться вирішувати алгебраїчні і трансцендентні рівняння і системи рівнянь, що можуть являти собою самостійну задачу (наприклад

РОЗВ‘ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Лекція № 3

Інженеру часто доводиться вирішувати алгебраїчні і трансцендентні рівняння і системи рівнянь, що можуть являти собою самостійну задачу (наприклад, аналіз рівноваги сил в жорсткій системі балок, або дослідження умов та параметрів рівноваги хімічної реакції, тощо) або частину більш складних задач. В обох випадках практична цінність чисельного методу в значній мірі визначається швидкістю і ефективністю отримання розв‘язку. Розглянемо найбільш відомі чисельні методи і ефективні алгоритми розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) називають систему виду:

(2.1)

де , () – невідомі; , () – вільні члени системи; , () – коефіцієнти системи.

В матричному вигляді рівняння (2.1) прийме вигляд:

,

де ={ } – вектор невідомих; ={ } – вектор

вільних членів; ={ } – матриця коефіцієнтів СЛАР.

Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь (2.1) називають вектор , координати якого { } при підстановці у систему, що розв’язують, перетворюють кожне рівняння системи в тотожність.

Кількість невідомих m в системі називають порядком СЛАР. Систему лінійних алгебраїчних рівнянь називають сумісною, якщо вона має хоча б один ненульовий розв’язок. В протилежному випадку СЛАР називають несумісною. СЛАР називається визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок (випадок, коли m = n). Систему називають невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків (m№n). Система називається виродженою, якщо головний визначник системи дорівнює нулю. Система називається невиродженою, якщо головний визначник системи не дорівнює нулю.

Дві системи називаються еквівалентними, якщо ці системи сумісні, визначені і мають однаковий розв’язок.

СЛАР можна розв'язати на ЕОМ чисельними методами, якщо вона сумісна, визначена, невироджена.

Дата добавления: 2014-11-08