Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Волновое уравнение

Распространение волн в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (17.2.2), описывающую бегущую волну:

Сравнивая уравнения (17.3.1) и (17.3.2), можно записать

Следовательно, производные по координатам x,y и z

, ,

Сложив производные по координатам

- волновое уравнение для плоской волны

Используя, оператор Лапласа

волновое уравнение примет вид

.

Решением волнового уравнения является уравнение любой волны (в том числе и плоская и сферическая волны).

Если среда, в которой распространяется несколько волн является линейной, т.е. ее свойства не изменяются от возмущений, то к этим волнам применим принцип суперпозиции (принцип наложения волн)

Принцип суперпозиции (наложения) волн: в линей­ной среде волны распространяются независимо друг от друга, так что результирующее возмущение в какой-либо точке среды при одновременном распространении в ней не­скольких волн равно сумме возмущений, соответствующих ка­ждой из этих волн порознь.

Основываясь на принципе суперпозиции волн и разло­жении Фурье, можно заменить любую несинусоидальную волну эквивалентной ей системой синусои­дальных волн, т. е. представить в виде группы волн, или волнового пакета.

Волновой пакет представляет собой совокупность волн, локализованных в пространстве, у которых имеет место малое отклонение по частоте.Совокупность значений частот этих синусоидальных волн называется спектром частот рассматриваемой несинусоидальной волны.

Сконструируем простой волновой пакет: гармоническую функцию, описывающую результирующую волну, представим как сумму двух волн, у которых имеет место малое отклонение по частоте:

Найдем связь групповой и фазовой скорости.

Циклическая частота связана с волновым числом по формуле:

Последнее уравнение выражает формулу связи групповой u и фазовой υ скорости.

Дата добавления: 2014-11-18