Р е ш е н и е. Часть 1. Расчет геометрических характеристик плоского сечения

И с х о д н ы е д а н н ы е

Пример расчета

Часть 1. Расчет геометрических характеристик плоского сечения

Выбираем исходные данные из табл. 3.1, рис. 3.6 и 3.7 согласно индивидуальному шифру студента. В примере рассматриваем схему, показанную на рис. 3.8.

Рис. 3.6.

Рис. 3.7.

Рис. 3.8.

Значения величин геометрических параметров и величин для стандартных профилей выбираем из таблицы сортамента (Прил. 2).

Уголок № 10 см^2 см^4 см^4 см^4 см	Швеллер № 30 см^2 см^4 см^4 см

Вычерчиваем схему сечения в масштабе M1:2 (рис. 3.9). Проводим центральные оси фигур, составляющих сечение: – прямоугольник, – швеллер, – уголок. При этом оси являются главными, а оси главными не являются.

Рис. 3.9.

Примечание: Все линейные размеры в [см].

Таблица 3.2

№ фигуры	Площадь , см^2	Координаты центров тяжести относительно осей , , см	Статические моменты относительно осей z3, y3, см^3	Координаты центров тяжести относительно осей , , см
I полоса	80,0	12,91	29,09	2327,2	1032,8	4,17	9,43
II швеллер	40,5	5,43	12,09	489,6	219,9	-3,31	-7,57
III уголок	22,8					-8,74	-19,66
	143,3			2816,8	1252,7

Продолжение таблицы 3.2

№ фигуры	Моменты инерции, см^4
I полоса	106,7		7220,7	2666,7	1391,1	4057,8		3145,8	3145,8
II швеллер		232,08	8130,8		443,7	770,7		1014,8	1014,8
III уголок		8812,6	9021,6		1741,6	1950,6		3917,7	4039,7

1. Определяем положение центра тяжести сечения.

В качестве базовых осей, относительно которых подсчитывали статические моменты, приняты оси и .

1.1. Определяем положение центра тяжести по формулам:

Вычисления можно проводить в табличной форме (см. табл. 3.2).

В столбцы 1-4 заносим данные для расчета, а в столбцы 5-6 – результаты расчета (табл. 3.2).

1.2. Отмечаем на чертеже точку С с координатами ; – данная точка является центром тяжести сечения.

2. Определяем положение главных осей инерции. Проводим через точку С оси параллельно базовым осям Оси – центральные оси и необходимы для определения положения главных осей инерции.

2.1. Определяем координаты фигур в новых координатных осях и заносим их в столбцы 7 и 8 табл. 3.2.

2.2. Определяем значения моментов инерции сечения относительно центральных осей . вычисляем в столбцах 9-17 моменты инерции относительно осей При этом момент инерции рассматриваемого элемента сечения относительно оси складывается из собственного момента инерции элемента относительно оси и его переносного момента инерции относительно оси , равного произведению площади данного элемента на квадрат расстояния от его собственной оси до центральной оси всего поперечного сечения .

Следовательно, осевой момент инерции сечения относительно оси будет равен

,

где – собственный момент инерции i -й фигуры; – переносный момент инерции i -й фигуры.

Прямоугольник имеет собственный момент инерции

;

.

Для швеллера №30 , для уголка 100х100х12 в соответствии с таблицей сортамента.

Переносные моменты инерции для прямоугольного элемента, швеллера и уголка равны (см. рис. 3.8 и табл. 3.2).

,

,

,

.

Аналогично определяются момент относительно оси и центробежный момент относительно осей .

.

Центробежный момент инерции прямоугольника относительно осей z ₁, у ₁ и равен нулю, т.е. , поскольку оси z ₁, у ₁ и – главные (оси симметрии). , так как оси центральные, но не являются главными.

Относительно главных центральных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю по определению, а относительно центральных осей, не являющихся главными.

Поэтому для определения воспользуемся формулой преобразования центробежного момента инерции при повороте осей

.

Моменты инерции уголка относительно главных осей берем из таблицы сортамента: J _u = 331 см⁴, J _υ = 86,9 cм⁴, J _uυ = 0.

Чтобы ось u совпала с осью Z ₃, надо совершить поворот на угол . Положительным углом поворота считается угол поворота против часовой стрелки. Тогда

.

Получим

.

При расчете в табличной форме сначала заполняем столбцы 7,8, затем результаты расчетов заносим в столбцы 9-17 (табл. 3.2).

2.3. Определяем положение главных осей инерции всей фигуры

;

; .

Откладываем на чертеже угол в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке, на рис. 3.9 он показан стрелкой. Сейчас проводим через точку С главные оси Z и Y.

3. Определяем главные моменты инерции

;

.

Для контроля правильности расчетов делаем проверку.

Проверка 1.

Проверка 2.

4. Осуществляем необходимые построения, измерения, вычисления для нахождения:

4.1. Моментов сопротивления. Из чертежа видно, что наиболее удаленными от осей zOy точками являются точки А и В. Линейкой измеряем координаты и отмечаем на чертеже

Y _mах = 13,0 см; Z _mах = 7,0 см.

Величина моментов сопротивления

; .

4.2. Главных радиусов инерции

; ;

4.3. Эллипса инерции

Откладываем значения радиусов инерции вдоль главных осей, причем i_z откладываем вдоль оси Y, а i_y – вдоль оси Z и на этих отрезках, как на полуосях, строим эллипс (рис. 3.9).

Часть II. Определение допускаемой нагрузки на балку

Дата добавления: 2014-11-18