Просторова інтерполяція

Інтерполяція - відшукання (обчислення) проміжних значень якої-небудь відомої величини по деяких відомих її значеннях. Інтерполяція використовується в багатьох прикладних напрямках наук про Землю. У метеорології інтерполюються дані спостережень метеостанцій для одержання карт погоди на великі території, також інтерполюються дані океанологічних і гідрологічних вимірів, будуються поля концентрацій речовин у різних середовищах і т.д. У геології інтерполяція застосовується для побудови двовимірних і тривимірних моделей підземних масивів за даними точкових шпар.

Для створення інтерпольованої карти як мінімум необхідний набір точок з даними про їхнє просторове положення (координати Х, У в користувальницькій системі чи широта/довгота) і кількіснеому значеннія параметра (Z) у цих точках - висота, тиск, температура, концентрація домішки забруднювача і т.д. У більшості практичних випадків мережа таких вихідних точок (data poіnt) нерегулярна, має різну щільність, великі розриви і т.д.

Задачею просторової інтерполяції є побудова на основі мережі вхідних точок суцільної поверхні з заданим розміром кроку сітки вузлів, що розраховуються. У залежності від необхідної просторової точності вибирається різний крок (наприклад, ділянка розміром 10x10 км може бути інтерпольований із кроком 100 м (100x100 вузлів сітки) чи з кроком 10 м (1000x1000 вузлів). На підставі числових значень точок даних розраховується значення для кожного вузла інтерполируємой мережі. Звичайно процедура інтерполяції виконується для області прямокутної форми (мал. 5.98).

В англомовній науковій літературі процедура побудови регулярної прямокутної сітки числових значень на основі мережі нерегулярних точок одержала устояне найменування grіddіng, масив інтерпольованих по регулярній сітці даних - grіd, окремий вузол інтерпольованої сітки - node. На основі регулярного масиву даних X,Y,Z можливе проведення великої кількості аналітичних процедур, а також побудова різних видів графічних відображень поверхонь: ізолінійних зображень, блок-діаграм, напівтонових чи градієнтних зображень.

Рис. 5.9 8 Загальна схема просторової інтерполяції

В англомовній науковій літературі процедура побудови регулярної прямокутної сітки числових значень на основі мережі нерегулярних точок одержала устояне найменування grіddіng, масив інтерпольованих по регулярній сітці даних - grіd, окремий вузол інтерпольованої сітки - node. На основі регулярного масиву даних X,Y,Z можливе проведення великої кількості аналітичних процедур, а також побудова різних видів графічних відображень поверхонь: ізолінійних зображень, блок-діаграм, напівтонових чи градієнтних зображень.

Методи інтерполяції поділяються на дві великі категорії: точна інтерполяція й інтерполяція, що згладжує. Точна інтерполяції максимально враховує значення вихідних точок даних, і не може генерувати значення вище чи нижче крайніх значень вхідних даних, не обробляє значення поза крайніми координатами. Однак багато просторових явищ мають властивість плавна, без різких переходів зміняться в просторі, вхідні дані можуть бути узагальненими за великий проміжок часу і не бути особливо критичними стосовно точності всього досліджуваного явища. У цьому випадку може бути використана інтерполяція, що згладжує, яка на основі різних аналітичних методів здатна забирати особливо різкі піки і ребра на поверхні. Багато методів точної інтерполяції включають фактори згладжування. Тому вибір методу інтерполяції за критерієм точності багато в чому залежить від характеру досліджуваного явища, а так само від досвіду й інтуїції дослідника. Звичайно використовується кілька методів інтерполяції, після чого вибирається найбільш оптимальний варіант.

Практично всі існуючі методи інтерполяції використовують умовно-зважене осреднение (Understandіng Weіghted Averagіng). Зважене осреднение в даному випадку означає, що якщо всі інші фактори рівноцінні, те чим ближче точка даних до вузла сітки, що обчислюється, тим більшу вагу вона має при розрахунку значення цього вузла. Значення інтерполируємой перемінної для кожного інтерполируємого вузла обчислюється по формулі:

(5.1)

де: G_j - інтерпольоване значення вузла сітки j; N - кількість точок даних, використовуваних для інтерполяції кожного вузла сітки; Z_і - значення Z кожної точки; w_іj - вага кожної точки даних.

Різниця між різними методами інтерполяції полягає у використанні різних алгоритмів визначення вагового фактора крапок даних при обчисленні значень вузлів сітки.

Метод Крайгинга (Krіgіng) - найбільше часто використовуваний геостатистичний метод для нерегулярних наборів просторових даних. Метод може бути пристосований до різних наборів даних за допомогою вариограм. Вариограми (криві імовірнісних розподілів даних) можуть бути як стандартними (лінійна, квадратична, сферична, Гаусса, логарифмічна, експонентна, і т.д.), так і спеціально побудованими для визначеного набору вхідних даних.

Метод обратно-квадратической дистанції (Іnverse Dіstance to a Power) враховуєть зважений вплив кожної точки в залежності від відстані до вузла сітки, що розраховується. Ваговий фактор зменшується зі збільшенням відстані до вузла, що розраховується. При збільшенні вагового фактора (ступеня) зростає вплив найближчої до вузла точки, аж до присвоєння її значення всім ближнім вузлам, що розраховуються.

До числа основних недоліків відноситься тенденція до генерування "бичачих очей" - концентричних контурів навколо вхідних точок даних. Не інтерполює значення вище чи нижче крайніх значень вихідних да них.

До числа часто використовуваємих в інструментальних ГІС також можна віднести методи природного сусідства (полігони Тиссена-Вороного), мінімальної кривизни, поліноміальної регресії, базисних радіальних функцій, тріангуляції з лінійною інтерполяцією.

Зокрема, метод тріангуляції може бути використаний для побудови поверхні за точним значенням вихідних даних (наприклад, поверхні Землі за даними геодезичної зйомки), а алгоритм поліноміальної регресії - для аналізу тренда поверхні. Вибір методу в залежності від кількості вихідних точок даних визначається кількістю і рівномірністю розподілу крапок в області інтерполяції. Кожен дослідник сам визначає, який метод використовувати в тім чи іншому випадку, у теж час виробники спеціалізованого програмного забезпечення для просторової інтерполяції, наприклад, широко розповсюдженого пакета наукової графіки Surfer, розробили ряд загальних рекомендацій [Surfer. Руководство Керівництво користувача ].

Набір, що містить біля десятка точок, дозволить визначити не більш, ніж загальні закономірності розподілу досліджуваного параметра. У цьому випадку рекомендуються методи крайгинга і радіальних базисних функцій. Для побудови трендовых поверхонь можна використовувати поліноміальну регресію.

При наборі менш 250 точок рекомендуються крайгинг із лінійної вариограмою, чи радіальні базисні функції з мультиквадратичною функцією.

Набір з 250-1000 точок з оптимальною швидкістю обробляють тріангуляція з лінійною інтерполяцією, крайгинг і радіальні базисні Функції.

Більш 1000 точок - швидка оцінка даних може бути зроблена з використанням методів мінімальної кривизни і тріангуляції з лінійною інтерполяцією. Точно, але відносно повільно працюють методи крайгинга і радіальних базисних функцій.109

Рис. 5.9 Різні варіанти інтерполяції одного набору базових точок:

а) метод Крайгинга, б) метод обратно-квадратичної дистанції,

в) метод найближчого сусідства (полігони Тиссена-Вороного),

г) поліномінальний тренд.

Навіть сама точна процедура інтерполяції дає досить умовну картину реального розподілу характеристики, що картографується, в просторі. Одним з методів контролю правильності інтерпольованих карт є обчислення й порівняння різниці розрахованих значень зі значеннями вихідних даних. Отримана вибірка значень піддається статистичній обробці, при перевищенні визначеного дослідником рівня в параметри інтерполяції вносяться необхідні зміни. Інтерпольована карта може коректуватися з використанням спеціальних редакторів, що дозволяють вручну змінювати значення кожного вузла сітки.

	г

	в

	б

	а

Дуже великі набори даних не дають істотних розходжень по швидкості інтерполяції різними методами. Вибір методу залежить від вимог користувача і ресурсів системи. На мал. 5.10 представлені різні варіанти інтерполяції одного набору точкових даних.

Рис. 5.10 Різні варіанти інтерполяції одного набору базових крапок точок:

а) метод Крайгинга, б) метод обратно-квадратичної дистанції, в) метод найближчого сусідства (полігони Тиссена-Вороного), г) поліномінальний тренд.

Навіть сама точна процедура інтерполяції дає досить умовну картину реального розподілу картографируємой характеристики, що картографується, в просторі. Одним з методів контролю правильності інтерпольованих карт є порівняння й обчислення й порівняння різниці розрахованих значень зі значеннями вихідних даних. Отримана вибірка значень піддається статистичній обробці, при перевищенні визначеного дослідником рівня в параметри інтерполяції вносяться необхідні зміни. Інтерпольована карта може коректуватися з використанням спеціальних редакторів, що дозволяють вручну змінювати значення кожного вузла сітки.

Готова інтерпольована карта представляє поверхню якого-небудь просторового явища (рельєф суші чи дна, атмосферного тиску, вологості, температури, концентрації різних речовин у різних середовищах і т.д.). Карти поверхонь надалі використовуються як для самостійного аналізу, так і для накладення на них плоских цифрових карт інших взаємозалежних характеристик. Підтримка роботи з поверхнями (3D-картами) включається у функціональний набір багатьох сучасних програмних пакетів ГІС.

Дата добавления: 2014-11-18