Решение 1 страница

Решение

По второму закону Ньютона уравнения

движения грузов имеют вид:

, откуда

м/с²;

Н.

Ответ: а =4,17 м/с², Т =2,82 Н.

Задача 2. Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость второго, меньшего, осколка.

Дано: m =5 кг; v =300 м/с; m₁ =3 кг; v₁ =100 м/с.

Найти: v₂.

По закону сохранения импульса

где м/с.

Ответ: v₂ =900 м/с.

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону , где С =2 м/с², D =0,4 м/с³. Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

2. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с²; б) опускать с тем же ускорением.

3. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α равен 20⁰), действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением, определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость.

4. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ=0,15. Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина.

5. Два груза с неравными массами m₁ и m₂ (m₁ > m₂) подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: а) ускорение грузов; б) силу натяжения нити.

6. Платформа с песком общей массой М =2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m =8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450 м/с, а ее направление – сверху вниз под углом 30⁰ к горизонту.

7. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола под углом 60⁰ к горизонту. Определить скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.

8. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина которой 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка передвинется по воде относительно дна?

9. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от нее с такой же скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30⁰ к плоскости стенки.

10. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями соответственно 5 и 7 м/с. Определить скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: а) больший шар догоняет меньший; б) шары двигаются навстречу друг другу.

ГЛАВА 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

3.1. Энергия, работа, мощность

Единая мера различных форм движения материи называется энергией. Энергия системы материальных тел характеризует эту систему с точки зрения возможных в ней количественных и качественных превращений движения. Эти превращения обусловлены как взаимодействием тел системы между собой, так и с внешними по отношению с системе телами.

Движение является неотъемлемым свойством материи. Поэтому всякое тело обладает энергией, являющейся мерой его движения. Для количественной характеристики качественно различных форм движения, изучаемых в физике, вводятся соответствующие им виды или формы энергии – механическая, внутренняя, электромагнитная и другие.

Причиной изменения состояния механического движения тела, а, следовательно, и его энергии, является взаимодействие тела с другими телами. Для характеристики воздействия этих тел на рассматриваемое тело в механике введено понятие силы. Поэтому можно говорить, что изменение движения и энергии вызывается силами. Процесс изменения энергии тела под действием силы называется процессом свершения работы, а приращение энергии тела в этом процессе называется работой, совершенной силой. Опыт показывает, что сила, приложенная к телу, совершает работу только тогда, если тело при этом перемещается.

Из курса физики средней школы известно, что при прямолинейном поступательном движении тела работа, совершаемая постоянной силой , тем больше, чем больше составляющая силы , касательная к траектории и чем больше путь s, пройденный телом за время действия силы:

(3.1)

В общем случае сила может изменяться как по величине, так и по направлению, поэтому формула (3.1) является лишь одним из частных случаев. Однако если рассматривать достаточно малое перемещение, то движение материальной точки можно считать прямолинейным, а силу – постоянной. Поэтому элементарная работа, совершаемая силой на перемещении равна:

(3.1')

Работа, совершаемая силой на конечном пути s (путь 1-2 на рис. 3.2), равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках:

(3.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость . Очевидно, что работа, совершаемая силой на пути 0-s, численно измеряется площадью, заштрихованной на рис. 3.3. Если сила не зависит от s ( const), то .

Из выражения (3.1') следует, что сила, действующая на тело, не совершает работы, если:

а) тело покоится (ds =0);

б) сила перпендикулярна к направлению перемещения тела ().

Если угол , то работа силы положительна (составляющая совпадает по направлению с вектором скорости ), поэтому в данном случае силу называют движущей силой. Если угол , то работа силы отрицательна ( и противоположны по направлению) и силу называют силой сопротивления (например, сила трения).

Единица работы – джоуль (Дж): 1 Дж – это работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м:

1 Дж = 1 Н·м.

Если на тело, движущееся поступательно, одновременно действует несколько сил (рис. 3.4), то работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

Если работа, совершаемая силой при перемещении точки из одного произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2 (рис. 3.5), не зависит от траектории перемещения, т.е. выполняется условие

А_1-2 = А_1-а-2 = А_1-b-2,

то такая сила называется консервативной (или потенциальной).

Из уравнения (3.2) следует, что изменение направления движения вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака работы (cos меняет свой знак). Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории L, например, 1-a-2-b-1, работа консервативной силы тождественно равна нулю:

(3.3)

Примерами консервативных сил являются силы всемирного тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия.

Все силы, не удовлетворяющие условию (3.3) (т.е. работа этих сил зависит от траектории перемещения точки), называются неконсервативными или диссипативными. Примером таких сил являются силы трения, которые всегда направлены в сторону, противоположную направлению движения (). Поэтому работа сил трения при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории всегда отрицательна и никогда не равна нулю.

Для характеристики скорости совершения работы силой , вводится понятие мощности, численно равной работе, совершаемой силой за единицу времени:

(3.4)

Подставляя в (3.4) выражение (3.1′) для элементарной работы, получим:

(3.5)

Следовательно, мощность (мгновенная мощность) силы равна произведению касательной составляющей силы и скорости движения, т.е. скалярному произведению векторов силы и скорости. Если P ≠const, то пользуются понятием средней мощности за некоторый промежуток времени t, в течение которого сила совершила работу А:

(3.6)

Единица мощности – ватт (Вт): 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж:

1 Вт = 1 Дж/с.

3.2. Виды механической энергии

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.

Пусть тело В, движущееся со скоростью , начинает взаимодействовать с другим телом С и при этом тормозится. Следовательно, тело В действует на тело С с некоторой силой и на элементарном участке пути ds совершает работу

По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила , касательная составляющая которой вызывает изменение численного значения скорости тела. Согласно второму закону Ньютона

Следовательно,

Работа, совершаемая телом до полной его остановки равна:

Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:

(3.7)

Из формулы (3.7) видно, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной ().

Если система состоит из n поступательно движущихся тел, то для ее остановки необходимо затормозить каждое из этих тел. Поэтому полная кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел:

(3.8)

Из формулы (3.8) видно, что Е_k зависит только от величины масс и скоростей движения, входящих в нее тел. При этом неважно, каким образом тело массой m_i приобрело скорость . Другими словами, кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

Скорости существенно зависят от выбора системы отсчета. При выводе формул (3.7) и (3.8) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, т.к. иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. Однако, в разных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга, скорость i -го тела системы, а, следовательно, его и кинетическая энергия всей системы будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, т.е. является величиной относительной.

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (Е_п = 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы. Так, для груза весом P, поднятого на высоту h, потенциальная энергия будет равна (Е_п = 0 при h = 0); для груза, прикрепленного к пружине, , где - удлинение (сжатие) пружины, k – ее коэффициент жесткости (Е_п = 0 при l = 0); для двух частиц с массами m₁ и m₂, притягивающимися по закону всемирного тяготения, , где γ – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами (Е_п = 0 при ).

Рассмотрим потенциальную энергию системы Земля – тело массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли. Уменьшение потенциальной энергии такой системы измеряется работой сил тяготения, совершаемой при свободном падении тела на Землю. Если тело падает по вертикали, то

где Е_no – потенциальная энергия системы при h = 0 (знак «-» показывает, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).

Если это же тело падает по наклонной плоскости длиной l и с углом наклона к вертикали (, то работа сил тяготения равна прежней величине:

Если, наконец, тело движется по произвольной криволинейной траектории, то можно представить себе эту кривую состоящей из n малых прямолинейных участков . Работа силы тяготения на каждом из таких участков равна

На всем криволинейном пути работа сил тяготения, очевидно, равна:

Итак, работа сил тяготения зависит только от разности высот начальной и конечной точек пути.

Таким образом, тело в потенциальном (консервативном) поле сил обладает потенциальной энергией. При бесконечно малом изменении конфигурации системы работа консервативных сил равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

В свою очередь работа dA выражается как скалярное произведение силы на перемещение , поэтому последнее выражение можно записать следующим образом:

(3.9)

Следовательно, если известна функция Е_п( r ), то из выражения (3.9) можно найти силу по модулю и направлению.

Для консервативных сил

, , ,

или в векторном виде

grad П,

где

grad П (3.10)

Вектор, определяемый выражением (3.10), называется градиентом скалярной функции П; - единичные векторы координатных осей (орты).

Конкретный вид функции П (в нашем случае Е_п) зависит от характера силового поля (гравитационное, электростатическое и т.п.), что и было показано выше.

Полная механическая энергия W системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий:

Из определения потенциальной энергии системы и рассмотренных примеров видно, что эта энергия, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы: она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Следовательно, полная механическая энергия системы также является функцией состояния системы, т.е. зависит только от положения и скоростей всех тел системы.

3.3. Закон сохранения энергии в механике

Путь к правильному пониманию переходов движения из одной формы в другую был намечен М.В. Ломоносовым, который сформулировал закон сохранения массы вещества при химических превращениях и закон сохранения материи и движения. Количественную формулировку закона сохранения и превращения энергии дали немецкие ученые Ю. Майер и Г. Гельмгольц (XIX в.): в замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела к другому, но ее общее количество остается неизменным.

Закон сохранения и превращения энергии является одним из фундаментальных законов природы, справедливым как для систем макроскопических тел, так и для систем элементарных частиц. Он является выражением вечности и неуничтожимости движения в природе, которое лишь переходит из одной формы в другую.

В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны (потенциальны), отсутствуют взаимные превращения механической энергии в другие виды энергии. Такие системы называются замкнутыми консервативными и для них справедлив закон сохранения энергии в механике: механическая энергия замкнутой консервативной системы не изменяется в процессе ее движения:

const. (3.11)

Для вывода этого закона рассмотрим систему материальных точек максами m₁, m₂, …, m_n, движущихся со скоростями . Пусть - равнодействующие внутренних консервативных сил, действующие на каждую из этих точек, а - равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действует еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим При массы материальных точек постоянны и уравнения движения этих точек по второму закону Ньютона имеют следующий вид:

(3.12)

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения . Умножим каждое уравнение системы (3.12) на соответствующее перемещение:

Учитывая, что , получим:

Складывая эти уравнения, получим:

(3.13)

Первый член левой части (3.13) представляет собой приращение кинетической энергии системы:

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dE_к.

Правая часть уравнения (3.13) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем:

(3.14)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т.е изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (3.14) следует, что

откуда

const,

что и требовалось доказать.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие виды энергии, называются диссипативными (диссипация – рассеяние энергии). Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными и в них закон сохранения механической энергии нарушается. Однако при изменении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом состоит физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т.е. Е_п = f(х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой, анализ которой позволяет определить характер движения тела.

В общем случае потенциальная кривая может иметь достаточно сложный вид, например с несколькими максимумами и минимумами (рис. 3.6).

Проанализируем эту потенциальную кривую в предположении, что система консервативна и в ней выполняется закон сохранения энергии в форме (3.11). Если W - заданная полная энергия тела, то тело может находиться только там, где Е_п(х) ≤ W, т.е. в областях I и III. Переходить из области I в область III и обратно тело не может, так как ему препятствует потенциальный барьер CDG, ширина которого равна интервалу значений х, при которых Е_п > W, а его высота определяется разностью Е_пmax-W. Для того чтобы тело смогло преодолеть потенциальный барьер, ему необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I тело с полной энергией W оказывается «запертым» в потенциальной яме ABC и совершает колебания между точками с координатами х_А и х_С.

В точке В с координатой х_О потенциальная энергия тела минимальна. Так как действующая на тело сила , а условие минимума потенциальной энергии , то в точке В F_x =0. При смещении тела из положения х_О в результате малых возмущений в системе оно испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение х_О является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки х^* (для Е_пmax). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при малых возмущениях в системе появляется сила, стремящаяся удалить тело от этого положения. Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия замкнутой консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, а в состоянии неустойчивого равновесия – максимальное значение.

Дата добавления: 2014-11-18