Решение 2 страница

Рассмотрим применение закона сохранения энергии в механике к расчету абсолютно упругого прямого центрального удара двух шаров. Абсолютно упругим называется такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии.

Пусть два абсолютно упругих шара массами m₁ и m₂ до удара движутся поступательно со скоростями и , направленными в одну сторону вдоль линии их центров, причем (рис. 3.7, а). Требуется найти скорости шаров и после их соударения (рис. 3.7, б).

По закону сохранения энергии в механике имеем:

(3.15)

Шары движутся в горизонтальной плоскости, поэтому их потенциальная энергия в поле тяготения Земли при ударе не изменяется, т.е.

Тогда из уравнения (3.15) получаем:

(3.16)

С другой стороны, по закону сохранения импульса

(3.17)

При центральном ударе векторы скоростей , , и направлены вдоль одной прямой. Поэтому в уравнении (3.17) можно перейти от векторов к их модулям:

(3.18)

Решая совместно уравнения (3.16) и (3.18), получим:

(3.19)

Анализ уравнений (3.19) позволяет сделать следующие выводы:

1) Если массы шаров одинаковы (m₁=m₂=m), то и , т.е. при ударе шары обмениваются скоростями;

2) если масса второго шара m₂>>m₁, то

Если при этом второй шар был до удара неподвижен (), то , т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью .

Как отмечалось, система тел называется диссипативной, если ее механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. В качестве примера рассмотрим диссипацию энергии при абсолютно неупругом прямом центральном ударе двух поступательно движущихся шаров (удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела движутся как одно целое, т.е. с одной и той же скоростью).

Общая скорость обоих шаров после удара по закону сохранения импульса равна:

(3.20)

Если шары движутся в горизонтальной плоскости, то их потенциальная энергия Е_n остается неизменной. Полная механическая энергия системы до удара

После удара она будет равна

, или, с учетом (3.20):

Найдем изменение полной механической энергии системы в результате неупругого удара:

Таким образом, при неупругом ударе полная механическая энергия системы уменьшается, т.е. часть ее рассеивается на деформацию соударяющихся тел. На деформацию тел затрачивается работа, равная убыли полной механической энергии системы:

Если второе тело до удара было неподвижно (), то

(3.21)

Неупругий удар на практике применяется для целей двоякого рода. Во-первых, для изменения формы тела – ковки и штамповки металла, раздробления тел. В этом случае важно, чтобы возможно большая часть кинетической энергии первого тела затрачивалась на работу деформации (формула (3.21)), т.е. чтобы масса неподвижного тела m₂ (например, наковальни вместе с куском металла) была во много раз больше массы ударяющего тела m₁ (например, молота).

Вторая цель состоит в перемещении тел после удара и преодолении при этом сопротивлений (забивка свай в землю, вбивание клиньев и т.п.). В этом случае выгодно, чтобы работа, затрачиваемая на деформацию, была как можно меньше и чтобы общая кинетическая энергия обоих тел после удара () была наибольшей. Для этого необходимо, чтобы масса ударяющего тела m₁ (молота) была во много раз больше массы второго тела m₂ (сваи, гвоздя).

Краткие выводы

· Энергия – универсальная мера различных форм движения материальных объектов и их взаимодействия. Количественной характеристикой процесса обмена энергией между взаимодействующими телами является физическая скалярная величина – работа сил.

Элементарная работа силы

Работа силы на произвольном участке траектории 1-2

· Мощность – физическая скалярная величина, характеризующая скорость совершения работы:

Мощность, развиваемая силой в данный момент времени, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы:

· Консервативная сила – сила, работа которой при перемещении из одного положения в другое не зависит от траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного положений тела. Силовое поле, в котором консервативные силы совершают работу, называется потенциальным полем.

· Кинетическая энергия - механическая энергия всякого свободно движущегося тела, численно равная работе, которую совершают действующие на тело силы при его торможении до полной остановки:

· Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

· Связь между консервативной силой и потенциальной энергией устанавливается выражением

grad Е_п,

где

grad Е_п =

Отсюда, как частные случаи, определяются: а) потенциальная энергия тела массой m на высоте h

б) потенциальная энергия упругодеформированного тела

где k – коэффициент упругости (для пружины – жесткость).

· Полная энергия механической системы – равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

· Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние) называются консервативными системами. В таких системах выполняется закон сохранения механической энергии:

const,

т.е. полная механическая энергия консервативной системы со временем не изменяется. Это фундаментальный закон природы, ко торый является следствием однородности времени.

· Система, в которой механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие формы энергии, называется диссипативной. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными. Однако при уменьшении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Другими словами, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность всеобщего закона сохранения и превращения энергии – неуничтожимость материи и ее движения.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что такое энергия, работа, мощность?

2. Как определяется работа переменной силы?

3. Какие силы называются консервативными? Приведите примеры консервативных сил.

4. Какие силы называются диссипативными? Приведите примеры таких сил.

5. Дайте определения кинетической и потенциальной энергии.

6. В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он выполняется?

7. Каким свойством времени обусловлена справедливость закона сохранения механической энергии?

8. В чем физическая сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему он является фундаментальным законом природы?

9. Как на основе закона сохранения механической энергии охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия консервативной системы?

10. Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?

Примеры решения задач

Задача 1. С башни высотой 20 м горизонтально со скоростью 10 м/с брошен камень массой 400 г (рис. 3.8). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить кинетическую и потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения.

Дано: H = 20 м; v₀ = 10 м/с; m = 0,4 кг; t = 1c.

Найти: E_k, E_п.

Решение

В точке А где

Подставляя числовые данные, получим E_k = 39,2 Дж, E_п = 59,2 Дж.

Ответ: E_k = 39,2 Дж, E_п = 59,2 Дж.

Задача 2. Автомобиль массой 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути (рис. 3.9). Определить: а) работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; б) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин.

Дано: m = 1800 кг; sinα = 0,03; s = 5000 м; μ = 0,1; t = 300 с.

Найти: А, Р.

Решение

где

Подставляя числовые данные, получим:

А = 11,5·10⁶ Дж, Р = 38,3·10³ Вт.

Ответ: А = 11,5 МДж, Р = 38,3·кВт.

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело массой 5 кг поднимают с ускорением 2 м/с². Определить работу силы в течение первых пяти секунд.

2. Определить работу, совершаемую при подъеме груза массой 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона 30⁰ к горизонту на расстояние 4 м, если время подъема составляет 2 с, а коэффициент трения 0,06.

3. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: а) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия равна 60 Дж; б) потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения.

4. Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в баллистический маятник длиной 1 м и массой 5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника.

5. Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона α к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным µ, определить расстояние s, пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки.

6. Автомобиль массой 1,8 т спускается при выключенном двигателе с постоянной скоростью 54 км/ч по наклонной плоскости (угол к горизонту 3⁰). Определить, какой должна быть мощность двигателя автомобиля, чтобы он смог подняться на такой же подъем с той же скоростью.

7. Камень массой 0,2 кг бросили под углом 60⁰ к горизонту со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: а) спустя 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

8. Тело массой 5 кг падает с высоты 20 м. Определить полную энергию тела в точке, находящейся от поверхности Земли на высоте 5 м. Трением тела о воздух пренебречь. Сравнить эту энергию с первоначальной энергией тела.

9. Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Землей обладает импульсом 100 кг·м/с и кинетической энергией 500 Дж. Определить: а) с какой высоты тело падало; б) массу тела.

10. Тело брошено под углом 45⁰ к горизонту со скоростью v₀ =15 м/с. Используя закон сохранения энергии, определить скорость тела в высшей точке его траектории.

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Характеристики динамики вращательного движения

Всякое твердое тело можно рассматривать как систему из n материальных точек и масса m тела есть сумма масс всех этих точек:

Будем считать, что тело абсолютно твердое, т.е. расстояния между любыми двумя его материальными точками не изменяются в процессе движения.

Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного о одной неподвижной точке О, вокруг которой тело может свободно вращаться. Эта точка называется центром вращения тела. Совместим с этой точкой начало неподвижной системы координат. Тогда положение в пространстве i -точки тела определяется радиусом-вектором , проведенным из центра О в эту точку (рис. 4.1).

Обозначим через силу, действующую на i -ю точку тела со стороны k -ой его точки, и через – равнодействующую всех внешних сил, приложенных к i -й точке. По второму закону Ньютона уравнение движения этой материальной точки имеет следующий вид:

(k≠i, т.к. i -я точка сама на себя не действует).

Умножим обе части этого уравнения векторно на :

(4.1)

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс называется моментом импульса этой материальной точки относительно точки О:

. (4.2)

Вектор называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы и , и образует с ними правую тройку векторов: при наблюдении из конца видно, что вращение от к по кратчайшему расстоянию происходит против часовой стрелки.

Векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из центра О в точку приложения внешней силы (рис. 4.2), на эту силу, называется моментом силы относительно точки О:

(4.3)

Векторы , и также образуют правую тройку. Модуль момента силы, как следует из рисунка, равен:

где l_i – плечо силы , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

(4.4)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в данном случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

Неподвижная ось вращения z может проходить как через центр инерции тела (ось вращения маховика, ротора турбины и т.п.), так и вне его (например, ось вращения самолета, выполняющего мертвую петлю). Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс (инерции), то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера (теоремой о переносе осей инерции): момент инерции тела J _z относительно произвольной оси вращения z равен сумме момента инерции тела относительно оси ОО₁, проведенной через центр инерции С тела параллельно оси z и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями (рис. 4.3):

(4.5)

Таким образом, с удалением центра инерции тела от его оси вращения момент инерции тела относительно этой оси возрастает. Из формул (4.4) и (4.5) видно, что момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от ее распределения относительно оси вращения.

В табл. 4.1 приведены значения моментов инерции для некоторых однородных тел.

Таблица 4.1

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

4.2. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Выведем уравнение динамики вращательного движения тела. Из выражений (4.1), (4.2) и (4.3) следует, что скорость изменения момента импульса i -й материальной точки определяется следующим образом:

(4.6)

Сложим почленно уравнения (4.6), записанные для каждой из материальных точек тела:

(4.7)

Векторная сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу, называется результирующим, или главным, моментом внешних сил относительно точки О:

Векторная сумма моментов импульса всех материальных точек тела называется моментом импульса тела относительно точки О:

Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то

Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних сил взаимодействия между точками тела равна нулю, т.е.

так как по третьему закону Ньютона силы и численно равны, имеют общую линию действия, но направлены в противоположные стороны (рис. 4.4). Поэтому их моменты и относительно точки О численно равны и противоположны по направлению (на рис. 4.4 точки m_i, m_k и О лежат в горизонтальной плоскости, а векторы и перпендикулярны этой плоскости). Действительно, , где - вектор, проведенный из точки m_i в точку m_k. Поэтому так как векторное произведение векторов и , направленных вдоль одной прямой, равно нулю.

На основании изложенного уравнение (4.7) можно записать в следующем виде:

(4.8)

Таким образом, скорость изменения момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.

Полученный результат называется основным законом динамики вращательного движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке. Момент импульса является основной динамической характеристикой твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

4.3. Кинетическая энергия и работа при вращении тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Если мысленно разбить это тело на n точек массами m₁, m₂, …, m_n, находящихся на расстояниях r₁, r₂, …, r_n от оси вращения, то при вращении они будут описывать окружности и двигаться с различными линейными скоростями v₁, v₂, …, v_n. Так как тело абсолютно твердое, то угловая скорость вращения точек будет одинакова:

Кинетическая энергия вращающегося тела есть сумма кинетических энергий его точек, т.е.

Дата добавления: 2014-11-18