Пересечение прямой линии с плоскостью

Перпендикулярность прямой и плоскости

Из элементарной геометрии известно, что прямая f₂, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.

На заданной плоскости в качестве двух пересекающихся прямых удобно выбирать линии уровня – горизонталь или фронталь. В этом случае можно воспользоваться свойствами проекций прямого угла.

Теорема. Для того, чтобы прямаябыла перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Задача. Построить проекции перпендикуляра l, опущенного из точки D (D₁,D₂) на плоскость общего положения Σ(АВС) (рисунок 1.3.23).

Решение:

1) В плоскости Σ(АВС) проведем горизонталь h(h₁,h₂) и фронталь f(f₁,f₂).

2) Выполним условия перпендикулярности прямой и плоскости. Для этого из точки D₁ проведем горизонтальную проекцию перпендикуляра l₁ таким образом, чтобы l_1┴ h₁, а из точки D₂ проведем l₂, чтобы l₂^ f₂.

3) Прямая l в этом случае перпендикулярна плоскости Σ(АВС), так как она перпендикулярна двум пересекающим прямым этой плоскости (h∩f). Таким образом l₁^ h₁ и l₂^ f₂, следовательно l^ Σ(АВС).

Рисунок 1.3.23 – Перпендикулярность прямой и плоскости

Это есть позиционная задача, т.к. в ней определяется общий элемент данных геометрических объектов, т.е. их точка пересечения, что соответствует рисунку 1.3.24.

Алгоритм решения задачи основывается на следующем способе:

1) через прямую линию проводят вспомогательную проецирующую плоскость-посредник;

2) находят линию пересечения вспомогательной плоскости с данной

плоскостью;

3) отмечают точку пересечения полученной линии с данной прямой;

4) определяют видимость прямой относительно даной плоскости.

Через прямую а, которая пересекает плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, в соответствии с рисунком 1.3.24 проведена вспомогательная фронтально проецирующая плоскость Q (Q₂), обозначенная на чертеже Q ₂º а ₂.

Линией пересечения b плоскости Q с заданной плоскостью треугольника АВС является прямая линия. Эта линия строится с помощью точек 1 и 2. Первоначально отмечаем фронтальные проекции 1₂ и 2₂ этих точек в пересечении следа Q₂ плоскости с фронтальными проекциями А₂В₂ и А₂С₂ соответствующих сторон треугольника АВС. Затем по свойству принадлежности определяем горизонтальные проекции точек 1 и 2 на горизонтальных проекциях этих сторон.

Пересечение линии b ₁ c линией a ₁ определяет горизонтальную проекцию К₁ искомой точки К. Фронтальная проекция К₂ точки К получается в пересечении линии связи, проведённой из точки К₁ с линией a _2.

Видимость прямой а относительно плоскости треугольника АВС определена с помощью конкурирующих точек 1, 1¢ и 3, 3¢.

Рисунок 1.3.24 – Пересечение прямой линии с плоскостью

Дата добавления: 2014-11-18