Проекционные свойства плоских кривых

Кривые линии

Кривую линию можно рассматривать как след движущейся точки. Эта точка может быть отдельной точкой или точкой, принадлежащей движущейся в пространстве линии или поверхности.

Кривые линии могут быть образованы пересечением кривой поверхности плоскостью (в общем случае), взаимным пересечением двух поверхностей, из которых хотя бы одна является кривой.

Законом образования кривой линии называется совокупность условий, определяющих эту линию. Точка, линия, поверхность перемещаются в пространстве, подчиняясь разным условиям. Плоскость может пересекать разнообразные кривые поверхности по самым различным направлениям. Взаимно пересекаться могут самые разнообразные поверхности при различном положении их относительно друг друга. Отсюда следует, что образование кривой линии может подчиняться бесчисленному множеству условий и может быть образовано бесчисленное множество кривых линий. Кроме того, одна и та же кривая линия может быть образована различными способами.

Например, эллипс может быть образован движением точки в плоскости, при котором в каждый данный момент сумма расстояний от этой точки до двух других неподвижных точек – фокусов эллипса – постоянна и равна большой оси эллипса. Но эллипс может быть образован и пересечением кругового цилиндра с плоскостью, расположенной произвольно по отношению к его оси или полным пересечением поверхностей двух круговых цилиндров одинакового диаметра.

Все кривые линии по положению их точек в пространстве делятся на два вида: плоские кривые – кривые, все точки которых лежат в одной плоскости (например, окружность, эллипс, парабола и т.д.) и пространственные кривые – кривые, точки которых не лежат в одной плоскости, например, винтовая линия

Допустим, что данная кривая l лежит в некоторой плоскости W. Спроецируем кривую l на плоскость проекций П¢ по направлению s в соответствии с рисунком 1.2.27. Тогда каждая точка М кривой l будет проецироваться в точку М¢ плоскости П¢. В результате на плоскости П¢ получится кривая l ¢ – проекция данной кривой l.

Рисунок 1.3.27 – Проекционные свойства плоских кривых

Кривая l ¢ будет обладать теми свойствами оригинала - кривой l, которые сохраняются при параллельном проецировании.

Рассмотрим основные свойства проекций плоских кривых линий.

Порядок плоской алгебраической кривой при параллельном проецировании не изменяется.

Проведём секущую m кривой l, лежащей в плоскости W. Тогда в проекции получим прямую m ¢, а точки пересечения линий m и l спроецируются в точки пересечения проекций m ¢ и l ¢ в соответствии с рисунком 1.3.27.

Таким образом, число точек пересечения линий m и l будет равно числу точек пересечения их проекций m ¢ и l ¢, т.е. порядок проекции l ¢ будет равен порядку кривой l.

Бесконечно удалённые точки кривой проецируются в бесконечно удалённые точки её проекции.

При перемещении некоторой точки М по кривой l её проекция М¢ будет перемещаться по кривой l ¢. При удалении точки М в бесконечность в соответствии с рисунком 1.3.27 её проекция также станет бесконечно удалённой точкой.

Касательная к кривой проецируется в касательную к её проекции.

Точка А¢ есть проекция точки А. Прямая t ¢ является проекцией прямой t, касательной к кривой l в точке А.

Число точек пересечения плоских кривых сохраняется при проецировании.

Плоские кривые в частном случае (когда направление проецирования параллельно плоскости кривой) могут проецироваться в прямые линии, а в случае параллельности плоскости кривой и плоскости проекций соответствующая проекция кривой будет конгруэнтна самой кривой.

Дата добавления: 2014-11-18