Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Пусть имеется одноканальная систем массового обслуживания с очередью, на которую не наложено никаких ограничений. На эту систему поступает поток заявок интенсивностью λ; поток обслуживания имеет интенсивность μ, обратную среднему времени обслуживания . Требуется найти финальные вероятности состояний системы массового обслуживания и характеристики ее эффективности:

– среднее число заявок в системе,

– среднее время пребывания заявки в системе,

– среднее число заявок в очереди,

– среднее время пребывания заявки в очереди,

– вероятность занятости канала (степень занятости канала).

Решение.

Вследствие неограниченности очереди A=Q=1.

Состояния системы S будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе: – канал свободен, – канал занят, очереди нет, …, – канал занят, в очереди k-1 заявок. Граф состояний системы массового обслуживания представлен на рис. 20.

Воспользуемся уже готовыми формулами для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. Получим:

Получили сумму бесконечного ряда. Ряд – геометрическая прогрессия. При ρ<1 ряд сходится (бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем ρ). При ρ≥1 ряд расходится.

Предположим, что ρ<1. Тогда:

,

Отсюда:

.

Тогда

, , …, .

Найдем среднее число заявок . Случайная величина Z – число заявок в системе – имеет возможные значения 0, 1, 2, 3, …, k, … с вероятностями Ее математическое ожидание равно:

.

Подставив в формулу, получим:

.

Вынесем ρ(1-ρ) за знак суммы:

.

– производная по k.

.

Отсюда

.

Так как ρ<0, то сумма, стоящая под знаком дифференциала равна , а ее производная . Значит:

.

Применяя формулу Литтла, получим:

Найдем среднее число заявок в очереди . Число заявок в очереди равно общему числу заявок в системе минус число обслуживаемых заявок. Значит, среднее число заявок в очереди равно среднему числу заявок в системе минус среднее число заявок под обслуживанием. Среднее число заявок под обслуживанием может быть 0 или 1. Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят: .

.

Следовательно, общее число заявок под обслуживанием равно ρ. Отсюда:

.

Окончательно:

.

По второй формуле Литтла найдем:

.

Мы рассмотрели только два простейших примера, об остальных можно прочитать в научной литературе.

Список рекомендуемой литературы

1. Акулич.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие для студентов экономических специальностей вузов. – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с.

2. Браверманн Э.М. Математические модели планирования и управления в экономических системах. – М.: Наука, 1976. – 366 с.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. – 208 с.

4. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. – М.: Наука, 1967. – 460 с.

5. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические методы в экономике. – М.: Наука, 1979. – 221 с.

6. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. – М.: Высшая школа, 1975.

7. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. – М.: Высшая школа, 1975.

8. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Математическое оптимальное программирование в экономике. – М.: Знание, 1968.

9. Кузнецов А.В.,Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. – Мн.: Выш. шк., 1994. – 286 с.

10. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1980.

Дата добавления: 2014-11-18