Основы работы в зале

3)

2)

1)

, (4.7)

где и .

, (4.8)

где и .

, (4.9)

где .

Запись системы, полученной после преобразований, называют ступенчатой (в частности, при - треугольной).

Система (4.7) имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим : . Из предпоследнего уравнения находим , затем из третьего от конца - . Двигаясь, таким образом, снизу вверх, найдем значения всех неизвестные. Процесс преобразования системы (4.5) к одному из видов (4.7), (4.8) или (4.9) называют прямым ходом метода Гаусса, а описанную только что процедуру движения снизу вверх по уравнениям системы (4.7) с целью получения значений неизвестных – обратным ходом.

Система (4.8) имеет бесчисленное множество решений. Из последнего уравнения можно выразить одно из неизвестных (например, ) через остальные неизвестных (), входящих в это уравнение. Полученное значение подставляем в последнее уравнение и находим выражение для через эти неизвестные и т.д. И, наконец, выражаем через . В результате система (4.8.) будет приведена к виду

. (4.10)

Полученная система представляет собой общее решение исходной системы. Неизвестные , стоящие в правой части равенств, называются свободными, а - базисными. Свободным неизвестным можно придавать любые числовые значения и по формулам (4.10) находить соответствующие значения базисных неизвестных. Каждый раз будет получаться определенное частное решение исходной системы. Заметим, что частное решение, получаемое из общего при нулевых значениях свободных неизвестных, называются базисным решением системы, которое играет исключительную роль в математическом программировании.

Система (4.9) не имеет решений, так как эта система несовместна, т.е. никакие значения неизвестных не могут удовлетворять ее последнему уравнению.

Итак, метод последовательного исключения неизвестных применим к любой системе линейных уравнений. Решая систему этим методом, преобразования можно совершать не над самими уравнениями, а над расширенной матрицей.

Пример 4.3. Решить СЛУ методом Гаусса: .

Решение. Составляем расширенную матрицу:

.

Сначала поменяем местами первую и третью строки, получаем:

.

Поскольку во второй строке первый элемент равен нулю, то элементы второй строки не изменяем. Умножаем элементы первой строки на и складываем с соответствующими элементами третьей строки:

.

Теперь поменяем местами вторую и третью строки:

.

Умножаем элементы второй строки на и складываем с соответствующими элементами третьей строки, получаем:

.

По коэффициентам последней матрицы составляем систему, равносильную исходной системе:

.

Из последнего уравнения находим , из второго – и из первого – . Итак, исходная система имеет единственное решение .

,

Пример 4.4. Решить систему уравнений

.

Решение. Составляем расширенную матрицу:

.

Сначала поменяем местами первую и третью строки, чтобы первый элемент (для удобства) был равен 1. Этот элемент будет разрешающим.

~ ~

[вторую и третью строки умножим на (-1)]

~ ~ .

По коэффициентам последней матрицы составляем систему, равносильную исходной системе:

.

Из последнего уравнения находим , из второго – и из первого – . Итак, исходная система имеет единственное решение .

,

Пример 4.5. Решить систему уравнений

.

Решение. Составляем расширенную матрицу и преобразуем ее:

~ ~ .

Система несовместна, так как последняя матрица содержит строку, соответствующую уравнению, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля.

,

Пример 4.6. Решить систему уравнений

.

Решение. Составляем расширенную матрицу и преобразуем ее:

~ ~ ~

~ .

Исходная система свелась к ступенчатой:

.

Из последнего уравнения за базисную неизвестную выберем, например, и выра-зим через свободные неизвестные : . Подставляем в первое уравнение и выражаем , которое становится базисной неизвестной:

.

Таким образом, получаем общее решение системы:

.

Пусть , где - любые действительные числа. Тогда получаем следующее решение

,

где - любые действительные числа.

,

апрель 2011г.

Дата добавления: 2014-11-18