КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ранг матрицы
Общая задача Л.П. Л.П.- наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Пусть дана система m неравенств с n - неизвестными. (1) х1,2 0 должно быть всегда (по смыслу экономических задач). - линейная функция. Необходимо найти такое решение системы Х = (х1,х2,….,хn), при котором линейная функция Z принимает оптимальное, т.е. мах(min) значение. Такую систему линейных неравенств называют системой ограничений, а функцию Z – целевой функцией (или линейной функцией, линейной формой, функцией цели). В общем виде задачу можно записать так: Оптимальным решением, или оптимальным планом задачи ЛП называют решение Х = (х1,х2,…хn) системы ограничений, при котором линейная функция Z принимает оптимальное решение. ü Если система ограничений состоит из одних неравенств, то задача называется стандартной; ü если же из уравнений, то задача, называется канонической; ü если из уравнений и неравенств, то неканонической или общей. Чтобы перейти от стандартной формы к каноническому виду вводят дополнительные неотрицательные переменные со знаком «+», если знак неравенства «≤» и со знаком «-», если знак неравенства «≥», т.е. неравенство можно заменить выражением . Решение экономической задачи можно разбить на три этапа: 1. построение экономико-математической модели; 2. нахождение оптимального решения; 3. практическое внедрение полученных результатов в народном хозяйстве. Чтобы составить математическую модель задачи Л.П. необходимо: a. ввести обозначения переменных; b. исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;
c. учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономерности, записать систему ограничений. Для рассмотрения решения задач Л.П. необходимо вспомнить некоторые понятия аналитической геометрии и линейной алгебры.
Рангом матрицы А называют наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы. Обозначается: r(A). 1. Если матрица имеет размерность (m х n), то её ранг не превосходит меньшего из её размеров: . 2. Если все элементы матрицы равны 0, то ранг матрицы равен 0: 3. Для квадратной матрицы n- го порядка ранг матрицы равен n, если определитель матрицы отличен от 0: ∆≠0, т.е. если матрица невырожденная. В общем случае, определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко, поэтому применяют элементарные преобразования, которые сохраняют ранг матрицы: 1. Отбрасывание нулевой строки или столбца. 2. Умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное 0. 3. Изменение порядка строк или столбцов. 4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое постоянное число. 5. Транспонирование матрицы.
§3. Системы m линейных уравнений с n переменными. В задачах Л.П. интерес представляют системы, в которых ранг матрицы А меньше числа переменных, т.е. или иначе, максимальное число независимых уравнений (неравенств) системы меньше числа переменных. Пусть дана система (1): (1) Выпишем матрицу А: Будем предполагать, что в данной системе все m неравенств (уравнений) независимы, т.е. r(A) = m, m<n. · Любые m переменные этой системы называются основными или базисными, если определить матрицы коэффициентов при них отличен от 0, тогда как остальные (n-m) переменные называется свободными или неосновными. Основными могут быть разные группы из n переменных и отличаться они будут друг от друга только самими элементами (переменными). Таких групп максимальное число может быть , т.к. могут быть случаи, что ∆=0, то их число n ≤ .
Теорема. Если для системы m линейных уравнений с n переменными, где m ≤ n, ранг матрицы коэффициентов при переменных r = m, т.е. существует хотя бы одна группа базисных переменных, то эта система является неопределенной, причем каждому произвольному набору значений свободных переменных соответствует одно решение системы. · Решение системы линейных уравнений Х = (х1,х2,….,хn) называют опорным или допустимым, если оно содержит лишь неотрицательные компоненты, в противном случае решение называется недопустимым. В задачах Л.П. именно такие решения представляют интерес. · Решение системы m уравнений с n переменными называется базисным, если все (n - m) свободные переменные равны 0. В случае если m ≠ n систему можно решать методом Гаусса. Если ранг системы равен n, то все m уравнений является линейно-независимыми, а остальные уравнения являются их линейной комбинацией. 1. Если r = n, то система имеет единственное решение. 2. Если r < n, то система имеет множество решений, которые определяются свободными переменными. 3. Если в порядке исключения неизвестных получается строка о · х1 + о · х2 +….о · хn = вi, где вi ≠ 0, то говорят, что система несовместна, т.е. решений не имеет.
Дата добавления: 2014-11-08; Просмотров: 888; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |