Определение. Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим

, значит х₄ нужно перевести в базисные, а х₂ – в свободные переменные.

Замечание. Если в разрешающем столбце нет положительных коэффициентов, то функция Z_min не достигнет, т.е. Z – не ограничена снизу.

Алгоритм перехода к симплекс-таблице №2:

1. Неизвестные х₂ и х₄ меняют местами.

2. Разрешающий элемент заменяют обратной величиной.

3. Остальные элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент.

4. Элементы разрешающего столбца, кроме разрешающего элемента, делят на разрешающий элемент и меняют знаки.

5. Все остальные элементы симплекс-таблицы №2 получают по правилу прямоугольника.

Тогда симплекс-таблица №2 примет вид:

Св Б
Z

Полагаем свободные переменные х₂=0, х₅=0, получаем значение новых базисных переменных и т.д.

Рассмотрим выражение для функции Z. По условию В₁, В₂, В₃ 0. Разрешающий элемент больше нуля по выбору, по выбору, значит .

Следовательно, функция Z уменьшилась. Значит, если в последней строке все элементы не положительны, т.е. , то базисное решение оптимальное и задача решена. В противном случае переход к симплекс-таблице №3.

При решении задачи на max:

1. Разрешающий столбец выбирают также, просматривая строку Z, кроме , и среди и находят отрицательный элемент наибольший по модулю. По этому элементу и соответствует разрешающий столбец.

2. Разрешающую строку выбирают по min отношений свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца.

3. На их пересечении оказывается разрешающий элемент.

4. Алгоритм перехода к симплекс-таблице № 2 тот же, что и для min.

5. Критерий оптимальности на max, если в последней строке Z нет отрицательных коэффициентов.

Замечание. Если первоначальное базисное решение не является допустимым (т.е. все значения положительные), то применяют метод искусственного базиса или М-метод.

Задача №1. Решить задачу симплекс-методом (см. задачу о приобретении хозяйством машин наибольшей грузоподъемности)

перейдем к канонической форме задания, введя дополнительные переменные .

Составим матрицу:

В системе можно оставить три базисных и одну свободную.

Пусть х₁, х₂, х₃ – базисные, х₄ – свободная. Выразим базисные переменные через х₄.

Итак,

Симплекс-таблица №1

Св Б
х1		-2
х2
х3
Z		-1

, значит х₃ перевести в свободные, а х₄ – в базис.

Симплекс-таблица №2

Св Б		х3
х1
х2		-½
		½
Z		½

1. Разрешающий элемент 2 заменяют обратной величиной ½.

2. Элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент 2.

3. Элементы разрешающего столбца делят на разрешающий элемент и меняют знаки.

4. Остальные элементы заменяют по правилу прямоугольника .

5. Так как в строке Z ( не рассматривается), коэффициенты положительны, то план оптимальный.

Дата добавления: 2014-11-08