Арифметические основы ЭВМ

1.1 Системы счисления. Общая форма представления чисел в позиционных системах счисления

Система счисления – это совокупность приемов и правил для наименования и обозначения чисел.

		Системы счисления
НЕПОЗИЦИОННЫЕ		ПОЗИЦИОННЫЕ
значение каждой цифры не зависит от ее положения в последовательности цифр в записи числа		значение каждой цифры зависит от ее положения в последовательности цифр в записи числа

Цифры – это символы, с помощью которых записыва­ются числа.

Вид цифры – это символ, с помощью которого записы­вается цифра в той или иной системе счисления. Вид цифры не зависит от ее позиции в числе.

Значение цифры («вес») – это «вклад» цифры в вели­чину числа.

Пример:

Римская система счисления. Непозиционная. Вид цифр: I, V, X, L, C, D, M. Значение цифр: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Образование чисел: XI=11 (10+1), IX=9 (10-1).

Десятичная система счисления. Позиционная. Вид цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Образование чисел: 232 – первая двойка обозначает сотни, тройка обозначает десятки, а вторая двойка обозначает уже единицы.

Алфавит – совокупность различных цифр, используе­мых в позиционной системе счисления для записи чисел.

Основание системы счисления – это количество раз­личных цифр в алфавите позиционной системы счисления.

Пусть имеется число Х в системе счисления с основа­нием b, состоящее из n целых и m дробных цифр a_i алфавита данной системы. Тогда общая форма представления числа в позиционной системе счисления выглядит следующим обра­зом:

Система счисления	основание	алфавит
Десятичная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная		0, 1
Восьмеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Пример: Представить число в общем виде

а) 3452 ₁₀ =3∙10 ³ +4∙10 ² +5∙10 ¹ +2∙10 ⁰

	Основание

б) 10011₂=1∙2⁴+0∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰

в) А2F,42₁₆=А∙16²+2∙16¹+F∙16⁰+4∙16^–1+2∙16^–2

Задачи:

Представить числа в общем виде:

1) 76543₁₀

2) 10010101₂

3) 2311₄

4) F23C78₁₆

5) 234,5432₁₀

6) 1101,01011₂

7) 105,2376₈

8) 1201,201₃

1.2 Перевод чисел из десятичной системы счисления в другие системы счисления

В вычислительной технике для физического представ­ления чисел, подлежащих обработке, необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых со­стояний. С точки зрения технической реализации наиболее удобно реализовать элементы, принимающие одно из двух устой­чивых состояний, например: электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто, ферромагнитная поверхность на­магничена или размагничена и т.д. Соответственно легко опи­сать эти состояния, присвоив одному из них значение «1», а другому – «0». Таким образом, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему счисления.

Но есть и неудобства: большое количество разрядов при записи двоичного представления десятичных чисел.

Для более компактной записи двоичных чисел наиболее применимыми являются системы счисления с основанием, представляющим целую степень двух. Наиболее применяемы­ми являются восьмеричная (8=2³) и шестнадцатеричная (16=2⁴).

Дата добавления: 2014-11-20