Доведення. Нехай . Розглянемо образ інтервалу при відображенні

Доведення.

Нехай . Розглянемо образ інтервалу при відображенні . Множина обмежена зверху, , а значить має точну верхню межу. Позначимо її .

Доведемо, що . Візьмемо довільне . Число не є верхньою межею , це означає, що . Візьмемо , тоді : . Значить, .

Таким чином, для ми вказали , тобто за означенням Коші .

Аналогічно доводиться існування .

Зауваження. Якщо функція визначена і монотонна на відрізку , то вона має в точці правосторонню границю, а в точці лівосторонню.

Будемо говорити, що функція неперервна на відрізку , якщо вона неперервна на а також в точці неперервна справа, а в точці – зліва.

Теорема 2. Нехай - монотонна функція на відрізку , значення якої заповнюють відрізок, тоді неперервна на .

Розглянемо внутрішню точку і доведемо, що в точці неперервна.

Для визначеності нехай . Очевидно, існують і . Припустимо, що . Тоді для : (точка існує, оскільки значення функції заповнюють відрізок). Очевидно, в силу монотонності функції, і оскільки .

Одержали суперечність, оскільки . Отже, припущення неправильне, і .

Аналогічно одержимо .

Таким чином, , тобто неперервна в точці .

Аналогічно доводиться неперервність функції в точці справа і в точці зліва.

4.8. Неперервність елементарних функцій

1. Будь-який многочлен є неперервним на всій числовій прямій.

Якщо , то неперервна. Справді, для .

Функція неперервна на числовій прямій. Дійсно, для . , якщо - неперервна.

Функція - неперервна, як добуток неперервних функцій .

Многочлен - одержано з функцій і за допомогою арифметичних операцій, отже, він є неперервним на всій числовій прямій.

2. Дробово-раціональна функція , де - неперервні многочлени, є неперервною для : .

3. Ірраціональні і дробово-ірраціональні функції неперервні. - неперервна при і , тоді неперервна на .

- неперервна, як суперпозиція неперервних функцій.

4. Тригонометричні і обернені тригонометричні функції неперервні.

.

, .

.

З останньої нерівності випливає, що (справедливо для ).

Далі, нехай

і - неперервна на .

- неперервна на .

и неперервні на своїх областях визначення.

, , , - неперервні за наслідком як обернені функції до неперервних.

5. - неперервна. Доведемо, що . Нехай , тоді , , . Для : виконується , , отже, . Для : виконується , отже , , тобто .

Нехай , . Отже, . Це означає, що , отже, - неперервна.

6. - неперервна, як обернена до (неперервної і монотонної).

Теорема. Будь-яка елементарна функція неперервна в своїй області визначення.

4.9. Важливі границі

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Доведемо першу важливу границю .

Відомо, що при .

Тоді і, оскільки,

, то .

Звідси при за теоремою про двох міліціонерів одержимо:

.

Отже, .

Наслідки.

1) ;

2) ;

3) .

Доведемо другу важливу границю .

Нехай , . Тоді .

.

За означенням границі за Гейне .

Нехай . Позначимо .

Тоді

.

За означенням границі за Гейне .

Таким чином або .

Доведемо .

Дійсно, . Зважаючи на неперервність функції і одержимо .

Доведемо .

Нехай , значить, .

Отже, .

Доведемо .

Нехай .

.

Отже,

.

4.10. Порівняння функцій. Еквівалентні функції

Означення. Ф ункції і називаються еквівалентними при , якщо . При цьому пишуть ~ , .

Теорема. Нехай ~ , і ~ , , тоді:

1) ;

2)

при умові, що границі, які розглядаються, існують (скінченні чи нескінченні).

Дата добавления: 2014-11-20