Доведення. Нехай послідовність . В силу неперервності функції в точц

Доведемо, що .

Нехай послідовність . В силу неперервності функції в точці маємо .

Розглянемо послідовність . В силу неперервності функції в точці маємо , тобто, якщо , то .

Таким чином, функція в точці має границю (за Гейне), що дорівнює значенню функції в точці , значить, вона неперервна в точці .

Наслідок. В умовах теореми .

Справді, в силу неперервності функції в точці , а в силу неперервності функції в точці . З останніх двох рівностей маємо .

4.6.2. Одностороння неперервність

Означення. Кажуть, що функція неперервна в точці справа, якщо .

Означення. Кажуть, що функція неперервна в точці зліва, якщо .

Теорема. Для того, щоб функція була неперервною в точці , необхідно и достатньо, щоб вона була неперервною в точці справа і зліва, тобто

. (*)

4.6.3. Класифікація точок розриву функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, можливо самої цієї точки.

Означення. Точка називається точкою розриву функції , якщо функція не визначена в точці , або, якщо вона визначена в цій точці, але не є в ній неперервною (порушуються рівності (*)).

Дата добавления: 2014-11-20