Доведення

Доведення.

Нехай .

Це означає, що .

Нехай – підпослідовність послідовності . Оскільки нескінченна, то , а значить за принципом Архімеда . Отже, .

Теорема 2. Якщо дві підпослідовності з , об’єднання яких дає , збігаються до однієї і тієї ж границі , то і вся послідовність збігається до .

Теорема 3. (Лема Больцано-Веєрштраса). З будь-якої обмеженої послідовності можна вилучити збіжну підпослідовність.

Нехай – обмежена . Нехай = . Так як – обмежена, то за теоремою про граничну точку множина має хоча б одну граничну точку. Нехай – гранична точка . Тоді в околі знайдеться хоча б один елемент (з послідовності ) відмінний від . Позначимо його через . Продовжуючи процес, одержимо підпослідовність послідовності , причому або . Звідси за теоремою про двох міліціонерів маємо, що .

3.6. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші

Означення. Кажуть, що послідовність задовольняє умові Коші або є фундаментальною, якщо для .

Теорема. Якщо фундаментальна, то вона обмежена.

Дата добавления: 2014-11-20