Теорема 10.Якщо є дві збіжні послідовності і , , то:
1. ;
2. ;
3. при .
За теоремою 8 маємо: , , де – нескінченно малі.
1.. За теоремою 9 – нескінченно мала, значить за теоремою 8:
.
2.. За теоремою 9 – нескінченно мала, значить за теоремою 8:
.
3.
Очевидно, вираз в квадратних дужках є нескінченно мала. Доведемо, що – обмежена. . Оскільки , то для числа . Тому при – обмежена. За теоремою 9 – нескінченно мала, за теоремою 8 .
3.3. Монотонні послідовності. Теорема Веєрштраса
Означення. Послідовність називається неспадною (незростаючою), якщо має місце нерівність: . Незростаючі і неспадні (спадні і зростаючі) послідовності називаються монотонними.
Теорема Веєрштраса.
1. Будь-яка неспадна обмежена зверху послідовність збігається.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2025) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление