Доведення. Необхідність. Нехай існує , тоді

Необхідність. Нехай існує , тоді . Нехай і виконуються нерівності .

Достатність. Нехай задовольняє умові Коші в точці , тобто , , . Доведемо, що існує.

Нехай , тоді : .

Остання нерівність означає, що послідовність фундаментальна. За критерієм Коші для послідовностей має границю .

Якщо – інша послідовність збіжна до , тобто , то знову матимемо . Покажемо, що .

Утворимо наступну послідовність . Очевидно, ця послідовність збігається до , а значить і послідовність має границю, тому .

Таким чином . Значить існує (за Гейне).

4.6. Неперервність функції

Означення. Кажуть, що функція , визначена в околі точки , є неперервною в точці , якщо .

Зауваження. Очевидно, .

Різницю назвемо приростом аргументу в точці , а різницю – приростом функції, і позначимо їх відповідно через і . Тоді . Тобто, неперервність функції в точці означає, що нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.

Означення. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то кажуть, що вона неперервна на .

З властивостей границь випливає, що сума, різниця, добуток і частка двох неперервних в точці функцій є функція неперервна в точці .

4.6.1. Неперервність суперпозиції функцій

Теорема. Нехай функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці . Тоді суперпозиція неперервна в точці .

Дата добавления: 2014-11-20