КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Доведення. 1. Нехай за Коші. Доведемо, що за Гейне
1. Нехай за Коші. Доведемо, що за Гейне. Нехай послідовність така, що , . Тоді, оскільки має границю за Коші, то . Для , . 2. Нехай за Гейне. Доведемо, що за Коші. Припустимо супротивне, тобто . Нехай , тоді , . Таким чином, ми вказали послідовність , , яка збігається до , тобто . Ми прийшли до суперечності, значить за Коші. Розглянемо випадок, коли . За Гейне: Нехай визначена на множині , яка не обмежена зверху. Кажуть, що , якщо . За Коші: , якщо для , .
4.2.1. Лівостороння й правостороння границі
Означення. Нехай функція визначена на множині і . Кажуть, що , якщо , при цьому число називають правосторонньою границею в точці і позначають або . Означення. Нехай функція визначена на і . Кажуть, що , якщо , при цьому число називають лівосторонньою границею в точці і позначають або . Теорема. Нехай функція визначена на множині і – гранична точка . тоді і тільки тоді коли .
4.3. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
Означення. Функція називається нескінченно малою при ( - гранична точка ), якщо . Теорема 1. тоді і тільки тоді, коли , де – нескінченно мала при . Теорема 2. Сума двох нескінченно малих при , добуток двох нескінченно малих при , а також добуток нескінченно малої при на обмежену на функцію є нескінченно малою при . Означення. Функція називається нескінченно великою при ( - гранична точка ), якщо . Теорема 3. Якщо – нескінченно велика при , то – нескінченно мала при , і навпаки, якщо – нескінченно мала при , то – нескінченно велика при ().
4.4. Властивості функцій, що мають границю
Означення. Функція , визначена на множині називається обмеженою зверху (знизу), якщо множина її значень обмежена зверху (знизу), тобто, якщо (). Означення. Функція називається обмеженою на якщо вона обмежена зверху і знизу. Очевидно, що обмежена на тоді і тільки тоді, коли . 10. Якщо існує , то функція обмежена в деякому проколотому околі точки . (доведення за допомогою означення границі за Коші). 20. Якщо і , то: ; ; (доведення за допомогою означення границі за Коші). 30. Якщо , то . 40. Якщо , і , то . 50. Якщо і існують , то . 60. Якщо існують скінченні границі , , то: 1) 2) ; 3) , ; (доведення властивостей 3 – 6 можна провести за допомогою означення границі за Гейне і відповідних властивостей збіжних послідовностей).
4.5. Критерій Коші існування границі функції
Нехай функція визначена на множині , і – гранична точка цієї множини. Означення. Кажуть, що функція задовольняє в точці умові Коші, якщо для , що задовольняють нерівностям виконується нерівність . Теорема. існує тоді і тільки тоді, коли задовольняє умові Коші в точці .
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 586; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |