Теорема 9

Доведення.

Доведення.

Доведення.

Доведення.

Доведення.

Доведення.

Приклади.

Доведення.

Доведення.

Припустимо, що . Візьмемо . Тоді і одночасно . Візьмемо тоді , , що суперечить . Значить .

Зауваження. В умовах теореми границі можуть дорівнювати одна одній.

Приклад: , , , .

Теорема 8. тоді і тільки тоді, коли , де — нескінченно мала послідовність.

Необхідність. . Нехай , тобто . Тоді або . Нуль – границя , , нескінченно мала, .

Достатність. Нехай , – нескінченно мала. Оскільки нескінченно мала, то : . Отже, .

1. Довести, що .

Нехай . За принципом Архімеда : . Тоді при .

2. Довести, що якщо , то .

,

.

візьмемо . Очевидно, .

3. Довести, що , .

Нехай , , .

Нехай .

4. Довести, що

При маємо: (при ) .

5. Довести, що

Нехай ,

.

6. Довести, що

З попереднього прикладу випливає, що : , .

3.2. Арифметичні операції зі збіжними послідовностями

1) Якщо , – нескінченно малі послідовності, то – нескінченно мала послідовність (сума і різниця нескінченно малих є нескінченно мала).

2) Якщо – нескінченно мала, – обмежена послідовність, то – нескінченно мала (добуток нескінченно малої на обмежену є нескінченно мала).

3) Якщо – нескінченно велика, то – нескінченно мала.

4) Якщо – нескінченно мала, , то – нескінченно велика.

Дата добавления: 2014-11-20