Доведення. Припустимо супротивне, що і причому

Доведення.

Доведення.

Доведення.

Припустимо супротивне, що і причому . Розглянемо околи точок і радіуса .

Ці околи мають порожній перетин. Оскільки , то поза околом точки міститься лише скінченне число членів послідовності. З іншого боку, оскільки то в окіл точки попадають всі члени послідовності, починаючи з деякого номера. Приходимо до суперечності, тобто послідовність має лише одну границю.

Теорема 2. Будь-яка збіжна послідовність є обмеженою.

Нехай . Візьмемо окіл точки радіуса 1, тобто . Нехай , тоді , ( - точки, що не потрапили в окіл ).

Теорема 3. Якщо , то .

Маємо нерівність . Оскільки , то

. Тоді при . За означенням .

Зауваження. Обернене твердження не має місця, але .

Теорема 4 (теорема про двох міліціонерів). Нехай є три послідовності: , , причому . Тоді якщо .

Оскільки , то . Оскільки , то існує .

Позначимо через , тоді .

Теорема 5. Нехай , . Тоді існує такий номер , що при виконується нер івність: .

Доведення очевидне.

Зауваження. Якщо до збіжної послідовності добавити чи прибрати з неї скінченне число членів, то одержимо нову послідовність, що збігається до тієї ж границі.

Теорема 6. Нехай . Тоді існує такий номер , що при виконується нерівність: .

Доведення (див. теорему 5).

Теорема 7. Нехай , , , тоді .

Дата добавления: 2014-11-20