Дві площини збігаються,якщо виконується рівність

. (4)

У разі виконання умови (4) рівняння однієї площини можна діс­тати з рівняння іншої площини множенням на сталий множник.

Нехай дано три площини

. (5)

Вони перетинаються в одній точці у тому і тільки тому разі, коли визначник

.

Якщо , то площини можуть мати спільну пряму, коли система рівнянь (5) має нескінченну множину розв’язків, або не мати жодної спільної точки, коли система (5) не має розв’язків.

3.5.6. Канонічне рівняння прямої

Нехай дано точку М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) на прямій і вектор , паралельний цій прямій. Складемо рівняння прямої. Нехай
М (х, у, z) — довільна точка на прямій. Вектор паралельний вектору , який називається напрямним вектором прямої.

За умовою паралельності дістанемо рівняння

, (1)

яке називається канонічним рівнянням прямої.

Пряму можна визначити як результат перетину будь-яких двох площин із наведених далі трьох:

.

Останні рівняння є рівняннями проекцій прямої відповідно на координатні площини

Якщо дано дві точки М ₁(х ₁, у ₁, z ₁), М ₂(х ₂, у ₂, z ₂) на прямій, то за напрямний вектор можна взяти Тоді рівняння прямої набере вигляду

(2)

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки М ₁(1, 2, 3) і М ₂(3, 5, 7).

· З рівняння (2) маємо:

·

Якщо відомі канонічні рівняння (1), то з них можна вивести параметричні рівняння прямої. Нехай t — коефіцієнт пропорційності векторів і s, тобто .

З рівнянь

маємо рівняння

, які називаються параметричними рівняннями прямої.

(3)

Коли параметр t змінюється від – ¥ до + ¥, точка М (х, у, z), де х, у, z визначаються рівнянням (3), пробігає всю пряму.

Скориставшись позначеннями

рівняння прямої можна записати у векторній формі

(4)

3.5.7. Рівняння прямої у просторі

Будь-яка пряма лінія у просторі подається системою двох рівнянь які задають (коли розглядати кожне з них зокрема) дві різні площини, що проходять через цю пряму.

(1)

Рівняння (1), узяті разом, називаються загальними рівняннями прямої. Напрямний вектор цієї прямої ортогональний до кожної з нормалей

Отже, можна вважати що

Щоб перейти від загальних рівнянь прямої до канонічного її рівняння, достатньо взяти дві різні точки на прямій і скористатися рівнянням (2) із підрозд. 3.5.6.

Перейдемо від загального рівняння прямої

до канонічного.

· Візьмемо , та із системи рівнянь , знайдемо х ₁ = 1, у ₁ = – 5.

Покладемо , то із системи рівнянь , знайдемо х ₂ = 1, у ₂ = – 7. Канонічне рівняння прямої набере вигляду

. ·

Щоб дістати довільну площину, яка проходить через пряму (1), застосовують пучок площин:

. (2)

Дата добавления: 2014-11-20