Функции распределения многомерной случайной величины

Понятие многомерной случайной величины и способы ее задания на примере двумерной дискретной случайной величины.

Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Функции распределения многомерной случайной величины. 3)Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и прямоугольник.

Понятие многомерной случайной величины и способы ее задания на примере двумерной дискретной случайной величины.

Тема 7. Многомерные случайные величины

Вопросы:

В практических задачах приходится сталкиваться со случаями, когда результат описывается двумя и более случайными величинами, образующими систему случайных величин (случайный вектор) (x₁, x₂,…, x_n). Например, точка попадания снаряда имеет две координаты: x и y, которые можно принять за систему случайных величин, (x, y) определенных на одном и том же пространстве элементарных событий W. Случайные величины, входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно представить в виде таблицы, характеризующей собой совокупность всех значений случайных величин и соответствующих вероятностей:

	x1	x2	…	xn	åP(yj)
y1	P(x1,y1)	P(x2,y2)	…	P(xn,y1)	P(y1)
y2	P(x1,y2)	P(x2,y2)	…	P(xn,y2)	P(y2)
…	…	…	…	…	…
ym	P(x1,ym)	P(x2,ym)	…	P(xn,ym)	P(ym)
å Pxi	P(x1)	P(x2)	…	P(xn)

Так как события, состоящие в том, что случайная величина Х примет значение х, а случайная величина У примет значение у несовместные и единственно возможные, то их сумма равна единице.

В общем случае двумерная случайная величина задается в виде интегральной функции: F(x, y) = P(X<x, Y<y), которая означает вероятность попадания двумерной случайной величины в квадрант левее и ниже точки с координатами (x, y).

Свойства интегральной функции:

1. F- не убывающая и непрерывная функция слева по каждому аргументу;

2. F(- , y)= F(x,- )= F(- , - )= 0;

3. F(+ , y)= F₂(y) – функция распределения случайной величины Y;

F(x,+ )= F₁(x) – функция распределения случайной величины X;

4. F(+ , + )= 1.

Дифференциальная функция системы двух непрерывных случайных величин определяется как вторая смешанная производная функции распределения:

f (x, y) = = (x, y). (6.1)

Свойства дифференциальной функции:

1.f (x, y)>0;

2. = 1;

3.F(x, y) = .

Геометрически свойство 2 означает, что объем тела ограниченного поверхностью f (x, y) и плоскостью XОY равен 1.

Если случайные величины x и y независимы, то

f(x, y) = f₁(x) f₂(y), (6.2)

где f₁(x)= (x), f₂(y)= (y) − безусловные законы распределения.

В противном случае:

f(x, y) = f₁(x) f(y/x) или f(x,y) = f₂(y) f(x/y), где

f(y/x)= - (6.3)

условная дифференциальная функция случайной величины Y при заданном значении X = x,

f(x/y)= - (6.4)

условная дифференциальная функция случайной величины X при заданном значении Y= y;

и - дифференциальные функции отдельных величин X и Y, входящих в систему.

Дата добавления: 2014-11-20